人教A版数学必修4第一章三角函数教学设计

-1-人教A版数学必修4第一章三角函数教学设计第一部分（整章内容）一、教材分析：1．教学内容：任意角、弧度制、任意角的三角函数、三角函数的诱导公式、三角函数的图象与性质、函数)sin(xAy的图象、三角函数模型的简单应用。2．在模块内容体系中的地位、作用：（1）加深对数学与实践关系的认识。三角函数是刻画现实世界某些现象的重要数学模型。周期变化现象在现实中大量存在，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些现象都可以用三角函数来描述。实际上，三角函数的产生、发展与解决具有周期性变化规律的问题的需要密切相关。因此，三角函数的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系，通过用三角函数解决实际问题的实践体会数学的作用和价值，学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法。（2）认识数学内容的联系性，学习数学研究的方法。三角函数与数学1中的函数概念有着特殊与一般的关系，三角函数的研究以一般函数概念及其研究方法为指导，同时三角函数的学习可以加深对函数概念的理解。三角函数及其性质与圆及其性质有着直接的联系，三角函数的研究很好地体现了数形结合思想。在三角函数模块的研究中，借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段，而且这也是使学生学会数形结合地思考和解决问题的好机会。学生可以从三角函数及其性质与圆及其性质的联系、几何以及三角函数的联系等，体会不同数学知识在内容与方法上的联系性，学习数学中发现问题、提出问题和解决问题的基本方法。3．总体教学目标：通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。（2）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。（3）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2，）的正弦、余弦、-2-正切），能画出xysin，xycos，xytan的图象，了解三角函数的周期性。（4）借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（2,2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。（5）理解同角三角函数的基本关系式：sincossincostan221xxxxx，（6）结合具体实例，了解)sin(xAy的实际意义；能借助计算器或计算机画出)sin(xAy的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。（7）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。4．重点、难点分析：重点：任意角三角函数概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式及其用，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。难点是：弧度制的概念，综合应用本章公式进行简单的三角函数式的化简和证明，周期函数的概念，函数)sin(xAy的图象与正弦曲线的关系。解决这些重点和难点的关键是使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清正弦曲线的画法和正弦函数的性质。二、教学方式：1．改进呈现方式，用恰时恰点的问题引导学生学习。在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教材的问题性和思想性，在知识的发生发展过程中，利用“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动思维。这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的。2．使用信息技术本模教学中，比较适合使用信息技术的内容是三角函数及其性质的研究。“标准”中明确提出了“借助计算器或计算机画出)sin(xAy的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响”的要求，在“说明与建议”中提出“应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，求解测量问题，分析中参数变化对函数的影响等”。根据“标准”的要求和建议，本模块对使用信息技术问题作了如下处理：（1）用计算器进行角度制与弧度制的互换；-3-（2）用计算器求三角函数的值；（3）用计算器的sin－1、cos－1、tan－1键，求角；（4）讨论)sin(xAy的图象时，在边空中提示，“可以用‘五点法’作图，有条件的也可以用计算器或计算机作图。在计算机的帮助下，对函数)sin(xAy的图象变化的影响能直观地得到反映”；（5）在用三角函数模型解决问题的过程中，提倡使用计算机进行函数拟合等。相应的，在角的两种度量制的互换、求三角函数值、作函数图象等方面都降低了要求，这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间。因为有了信息技术，教科书中引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修正函数模型才能解决的问题。三、教学资源有关讨论)sin(xAy图象的课件在网上可以找到，也可以使用图形计数器。四、教学建议1．充分利用三角函数与学生已有经验的联系创设问题情景。三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气，时针旋转……都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子……是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体，教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。2．充分利用相关知识的联系性，引导学生用类比的方法进行学习，加强教学的“思想性”。三角函数与《数学1》的函数概念是一般与特殊的关系，教学中应当注意发挥学生头脑中函数概念及在指数函数、对数函数的学习中建立的经验的指导作用。通过联系和类比，使学生明确三角函数与已有函数概念的共通性，同时认识三角函数的特殊性——描述周期现象的最有力的数学模型，从而明确需要研究的问题及其研究方法。-4-3．充分发挥几何直观的作用，注重数形结合思想方法的运用。在三角函数的教学中，要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质，提高分析和解决问题的能力。4．把握教学要求，不搞复杂的、技巧性强的三角变换训练。弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的2所对的圆心角或周角的2），随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。另外，在三角函数中被删减的内容（如任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号arcsinx等）以及降低要求的内容（如任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式等）都不要随意补充或提高要求。第二部分（章节内容）教学设计§1任意角和弧度制一、教学目标1．通过对生活中相关实例的观察，了解任意角的概念，体会引入任意角的必要性和实际意义；2．能够建立适当的坐标系来讨论任意角，并会判断任意角终边在直角坐标系中的位置；3．了解弧度概念以及用弧度度量角的方法；4．掌握弧度与角度的换算关系，能进行弧度与角度的互化（可借助计算器）；5．初步培养学生从数、形两方面认识数学概念的意识。二、教学重点、难点重点：认识根据实际需要拓展数学概念的必要性；了解任意角和弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的换算。难点：对弧度概念的理解；将终边相同的角用集合表示。有人说弧度就约等于“糊涂”，为什么弧度比较难理解呢？⑴角的大小是一个量。就像长度，重量，速度，温度等量一样。物理中，我们知道，一个量的度量常常用不同的方法来测量，不同的测量方法最基本的差异是使用不同的测量单位。例如，温度有两种我们熟悉的度量单位，摄氏和华氏，中国人习惯使用摄氏温度，西方人则习惯使用华氏温度，很多人甚至并不知道摄氏温度和华氏温度的单位是如何确定的。“角度”容易被接受的原因之一是用“自己”度量“自己”，并且日常生活中我们经常使用这个单位，久而久之，就不太容易接受其他的角度度量单位了。（2）用“弧度”来度量角，需要一个过程。首先，需要确定长度单位，用这个长度单位做一个圆，我们知道圆弧是有长度的，例如，整个圆周的长度是2。接着用长度单位来测-5-量弧的长，我们把长度为1的弧所对应的角作为角的弧度单位，称为一弧度角，这样我们就确定了度量角的新的单位。最后必须说明：选择的长度单位不同，但得到的一弧度的角都是相同的，弧度指得是一个比值，它不依赖于圆半径的大小，这需要用到相似的概念。即，需要证明任何两个圆都是相似的，这要用到极限的思想。对于这一点在中学时不要求的。（3）“弧度”与“角度”的区别在于，角度是“自己”量“自己”，弧度是用“其他的东西”量角，即用“长度”量角，这是容易造成不习惯的地方。也正是由于这一点，弧度给我们带来很多好处。【知识结构】03602平面上画正，负，零角几何图形--放在适当直角坐标系中任意角概念角度制换算关系度量方法-----弧度制【教学资源建议】任意角、弧度《标准》表述《标准》要求的具体化与深广度分析《大纲》相应的要求了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化了解任意角的概念：平面内一条射线着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。理解象限角和终边相同的角的概念及其表示。例如：第一象限角：{︱k3600k3600+900,k∈Z}或（k3600，k3600+900）k∈Z第二象限角：{︱k3600+900k3600+1800,k∈Z}或（k3600+900，k3600+1800）k∈Z第三象限角：{︱k3600+1800k3600+2700,k∈Z}或（k3600+1800，k3600+2700）k∈Z第四象限角：{︱k3600+2700k3600+3600,k∈Z}或（k3600+2700，k3600+3600）k∈Z理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算-6-终边在x轴上的角:S={︱=k1800,k∈Z}终边在y轴上的角:S={︱=k1800+900,k∈Z}所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合:S={︱=k3600+,k∈Z}高中课程不要求的：对于判断一个角是第几象限角，只要求是具体的角，而不要求抽象的角。如：“已知是第三象限角，则,23分别是第几象限角？”“标准”里不作要求。【课时安排】建议本节3课时：第1、2课时：任意角概念，象限角、终边相同的角；第3课时：弧度的概念及角度与弧度的换算。【教学方法与学习指导策略建议】（一）任意角概念的引入1．几种处理方式（1）教师引导学生回顾所学角的定义后，提出问题：角定义中，射线绕顶点在某一平面内旋转，方向是否确定，旋转量有没有指名必须在一周内？指导学生分组讨论，并要求在现实生活中找到模型，说明原有概念的局限性，得出拓展角概念的必要性；最后，对照书本定义并要求做出角的图形已形成完整概念。（2）环节1：呈现生活中实际问题，引导学生概括总结原有角概念的局限性（从旋转方向和周数两个方面认识），此环节的教学重在使学生体会到数学概念的产生或发展都有其内在的必然性，从而树立起数学学习是一个使认识不断发展、深化的过程，是一个使问题的解决方法不断丰富的过程；环节2：指出拓展角概念的必要性，引导学生给角重新下定义，并探讨用不同图形表示不同角（正角、负角及零角），形成对任意角的完整认识，此环节突出了从直观上阐释新概念内涵的特点，使新概念在学生头脑中较易生根；环节3：考虑在直角坐标系中表示任意角，得出象限角及终边相同角的概念，此环节主要是为下面学习三角函数的内容作好铺垫。（3）提出“拨手表指针”问题，引导学生感受推广角概念的必要性，使他们明确：要正确的表达“校准”手表的过程，需要同时说明指针的旋转量和旋转方向。教学时，可以先让学生描述如何“校准”的过程，然后让学生体会仅用00～3600的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题。接着，可类比正负数的规定，说明正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，其正、负规定是出于习惯。总之，不论哪种设计，均要突出数学概念是从需要（解决实