拉格朗日方程漫谈(第二讲)

拉格朗日方程漫谈1、怎样理解最小作用量原理？2、哈密顿原理；3、拉格朗日方程的推导4、几个理论力学的例子第二讲中国科学院力学研究所研究员中国科学院大学岗位教授李世海博士最小作用量原理:最小作用量原理（principleofleastaction）是物理学中描述客观事物规律的一种方法。从功能角度去考察和比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，是其中作用量最小的那个。自然界总是通过最短的途径发生作用的。210ttTdt最小作用量原理还可详述为：对于定常保守系统，在广义坐标qi和时间t的联合空间(q1,q2,…,qN;t)里,对于机械能E保持不变（即δE＝0)的各条路径中,如果路径的端点（包括始点和终点）的全变分为零,则积分对于真实运动的路径和邻近的旁路比较，真实路径的积分是驻值。机械能最小动能最小哈密顿原理2221110;00;ttttttLdtLdtTVdt最小作用量原理：能量守恒的情况下，动能的全变分为零；哈密顿原理：是动能与势能的差的全变分为零；在N+1维空间中，任两点之间连线上动势的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。121(,.....,,)Nqqqt,,Lqqt210;ttLVdt在各种能量泛函的取值中，取驻值的那个是真实的。22112211,,00ttttttttLLuvtLdtLdtLLLvuvuLLddLdLvuuuvvdtdtvdtvdLdLLLdtuuudtdtvdtvu拉格朗日方程：表达的更具体些。从哈密顿原理可以得到拉格朗日方程dqdqqqdtdt因为：ababab22112211000ttttttttLdLLuuudtvdtvudLLdLLudtdtdtvudtvuq在两个时间端点上为零0dLLdtvu从基本原理得到的方程0dLLdtvu认识拉格朗日方程LTV泛函：,,LLuvt泛函对两个函数变分对动量求时间的导数力：能量相对位移的变化动量：能量相对速度的变化拉格朗日方程举例：弹簧振子LTV0dLLdtvu221122Lmvku2200dvmkudtdumkudtku泛函对位移的变分：力泛函的构成对速度变分：动量；对时间求导得到惯性项。拉格朗日方程举例：自由落体LTV0dLLdtvu21()2Lmvmghu0dmvmgdtdvmmgdt这是一个从高度h的质量块，在重力作用下运动的方程。mg质量乘加速度huhu拉格朗日方程举例：一条绳子沿着桌边下落LTV0dLLdtvu221122Llvgu2200dvlgudtdulgudt沿着一个弯曲的面滑动guu小结最小作用量原理；这个世界有个最基本的原则。“能量”偷懒原则。机械能守恒、动量取极小值。哈密顿原理：定义了作用量能量泛函，动能-势能拉格朗日方程也是一个原理；也可以从哈密顿原理来。几个理论力学的例子，挺方便的，但不是我们的目标。