大一高数(上)

姓名：班级：学号：1/8第一章函数、极限、连续（小结）一、函数1.邻域：()Ua,()Ua以a为中心的任何开区间；2.定义域：tan{};2yxxkcot{};yxxkarctan{,(,)}22yxxRy；arcsin{[1,1],[,]}22yxxyarccos{[1,1],[0,]}yxxy.二、极限1.极限定义：（了解）limnnxa若对于0，NZ，.st当nN时，有||nxa；Note：||?nxan0lim()xxfxA0，0，.st当00xx时，有()fxA；Note：0()?fxAxxlim()xfxA0，0X，.st当xX时，有()fxA；Note：()?fxAx2.函数极限的计算（掌握）（1）定理：0lim()xxfxA0()fx0()fx0lim()xxfxA；（分段函数）（2）00型：①约公因子，有理化；比如：2311lim1xxx，2131lim2xxxxx；②重要极限0()0sinsin()limlim1()xuxxuxxux；③等价无穷小因式代换：tan,sin,sinxxxxarcxx，1cos~x212x，11~nx1nx，e1~xx，ln(1)~xx型：先通分；比如：2112lim11xxx型：转化为无穷小；比如：221lim2xxxx1型：重要极限11()0()0lim1lim1()xuxxuxxuxe；（3）无穷小量：无穷小无穷小=无穷小；无穷小有界量=无穷小姓名：班级：学号：2/8比如：coslim2xxx（4）函数极限与无穷小的关系：00lim()(),lim0xxxxfxAfxA其中：（抽象函数）（5）微分中值定理：()()()fbfafba；比如：1arctanarctan1lim1xxx（第3章）（6）罗必达法则：00()()0limlim,()()0xxxxfxfxgxgx比如：20tanlimsinxxxxx（第3章）3.数列极限的计算：夹逼原则：222111lim12nnnnn积分定义：1011lim11nniixdxnn；lim0(||1)nnqq；lim1nna.（第五章）三、连续1.函数在点0x处连续：00lim()()xxfxfx.一切初等函数在其定义域都是连续的.2.闭区间上函数连续的性质：最大最小值定理：若()fx在[,]ab上连续，则()fx在[,]ab上一定有最大、最小值.零点定理：设()[,]fxCab，且()()0fafb，至少有一点(,)ab，使得()0f介值定理：设()[,]fxCab，且()faA，(),fbBAB则对,AB之间的任意常数C，至少有一点(,)ab，使得()fC.四、间断点1．第一类间断点：0()fx、0()fx存在若000()()()fxfxfx，则称0x为可去间断点；若00()()fxfx，则称0x为跳跃间断点；2.第二类间断点：0()fx、0()fx至少一个不存在若其中一个趋向，则称0x为无穷间断点；若其中一个为振荡，则称0x为振荡间断点；姓名：班级：学号：3/8第二章导数与微分（小结）一、导数的概念1.0()fx0limxyx000()()limxfxxfxx000()()limhfxhfxhNote：①该定义主要用于相关定理的分析与证明；②导函数求导公式：()fx0()()limhfxhfxh.2.分段函数在分段点处可导性判别：定理：()fx在0x处可导()fx在0x处即左可导，又右可导0()fx000()()limxxfxfxxx,0()fx000()()limxxfxfxxx.3.导数的几何意义：切线斜率，即0()kfx当0()fx时，曲线在点00(,)xy处的切线、法线方程为：切线方程：000()()yyfxxx；法线方程：0001()()yyxxfx二、导数的运算1.四则运算：00()()()()uxvxuxvx；[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx；2()()()()()()()uxuxvxuxvxvxvx；2.反函数求导：()yfx，()xy互为反函数，则1()()fxy3.复合函数求导：()yfx，则d()()dyfuxx.4.隐函数求导：(,)0Fxy两边关于x求导，把y看成是x的函数.5.参数方程：(),(),xxtyyt则()()dydydtytdydxdtdtdxdtdxxt三、微分1.微分的概念：若有00()()yfxxfx()dyAxox成立，记作：dyAxNote：()dyAxAdxfxdx,(),()yfxdyfxdx；2.微分在近似计算中的应用（1）近似计算000()()()()fxfxfxxx.姓名：班级：学号：4/8第三章微分中值定理及导数的应用一、微分中值定理1、罗尔(Rolle)中值定理：(,)ab内至少存在一点，使得()0f.Note：①证明导函数根的存在性.②证明原函数根的唯一性.2、拉格朗日中值定理：在(,)ab内至少存在一点,使得()()()fbfafba.Note：①把()()fbfaba用()f做代换，求极限.②由ab建立不等式，用于证明不等式.3、柯西中值定理：在(,)ab内至少存在一点,使得：()()()()()()ffbfaggbgaNote：用于说明洛必达法则.二、洛必达法则（1）可结合两个重要极限、等价无穷小代换，约公因子等方法灵活运用.（2）若-，不为分式，可通过令：1xt，创造分式.比如：21lim[ln(1)]xxxx三、函数图形的描绘（1）写定义域，研究()fx的奇偶性、周期性；（2）求()fx，()fx；（3）令()0()fxfx不可疑极值点1x，()0()fxfx不可疑拐点2x；（4）补充个别特殊点，求渐近线：lim()xfxC，0lim()xxfx；（5）列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点；（6）画图111222()()()xxxxxxxfxfxfx极值点拐点五、最值的计算:（1）求()fx在(,)ab内的可疑极值点：12,,,mxxx0000-001通分取倒数取对数姓名：班级：学号：5/8（2）最大值：12max(),(),,(),(),()mMfxfxfxfafb特别的，（1）()fx在[,]ab上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点.（2）()fx在[,]ab上单调时，最值必在端点处达到.（3）对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.第四章不定积分一、不定积分：()d()fxxFxC，Note：①C为积分常数不可丢！②()d()dfxxfxdx()d()FxxFxC③[()()]d()d()dfxgxxfxxgxx；()d()dkfxxkfxx.④几个常用的公式dxx111xC，dxaxlnxaCa1dxxlnxCsectandxxxsecxC，csccotdxxxcscxC，二、换元积分法：1.()[()]()d()duxfxxxfuu.Note：①常见凑微分：2111(),(),2(),(ln||)2dxdxcxdxdxcdxdxcdxdxcxx2211(tan)(cot),(arcsin)(cos)1+1dxdarcxdarcxdxdxdarcxxx②适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：21dxex，若被积函数多于两个，比如：4sincosd1sinxxxx，要分成两类；③一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成()x；④若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；2.()()d[()]()duxfuufxxx姓名：班级：学号：6/8Note：常见代换类型:(,)dnfxaxbx，ntaxb22(,)dfxxax，secxat22(,)dfxaxx，sinxat22(,)dfxaxx，tanxat()dxfax，xta(,)daxbncxdfxx，axbncxdt三、分部积分法：duvxuvuvdx.Note：①按“反对幂指三”的顺序，谁在前谁为u②uv要比uv容易计算；③适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：arcsin1xdx，xedx（tx）；④多次使用分部积分法：uuuvvv求导积分三、有理函数的积分1.假分式=多项式+真分式()()PxQx；2.真分式=（拆成）若干部分分式之和；Note：拆项步骤：①将分母分解：()Qx2()xa22()xpxq240pq②根据因式的情况将真分式拆成分式之和：11211222222()()()PxAABxCBxCQxxaxpxqxpxqxa3.逐项积分.注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！第五章定积分一、定积分的概念及性质1.定义：01()lim()nbiiaifxdxfx，其中()=ibain；2．几何意义：()0,()dbafxfxx——曲边梯形面积()0,()dbafxfxx——曲边梯形面积的负值姓名：班级：学号：7/83.性质：（1）()d()dbaabfxxfxx,()d0aafxx;（2）dbaxba（3）()d()dbbaakfxxkfxx;（4）[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx;（5）()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx;（6）若在[,]ab上()0fx，则()d0bafxx;（7）设[,][,]max(),min()ababMfxmfx，则()()d()bambafxxMba;（8）积分中值定理：()d()()bafxxfba，[,]ab.4.变上限函数：()()dxaxfttNote：d()ddbxfttx()fx；()d()ddxafttx[()]()fxx()()d()ddxxfttx()()d()d()ddaxxafttfttx[()]()[()]()fxxfxx5.牛顿—莱布尼茨公式：()d()()()bbaafxxFxFbFa.二、定积分的计算1.换元积分：换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限；2.分部积分：=uvbbbaaauvdxuvdx；3.若()fx为奇函数，则()0aafxdx；若()fx为偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx.4.广义积分：()lim();()lim();aaabbbbafxdxfxdxfxdxfxdx三、定积分的应用1.平面图形的面积直角坐标：()dbaAfxx姓名：班级：学号：8/8推广：[()()][