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动态规划初步引入：走楼梯已知一个楼梯有n级，从下往上走，一步可以走一级，也可以走两级，走到第N级楼梯有多少种走法？【输入格式】一行一个整数n。【输出格式】一行仅有一整数，表示走到第n级有多少种走法。【输入样例】【输出样例】22【数据规模】对100%的数据满足：0＜n≤30。最短路径问题---求A到E的最短路的长度穷举？贪心？搜索？思考：仔细观察本图路径的特殊性，可以分成4个阶段：第一阶段：A经过A-B1或A-B2到B第二阶段：B1有三条路通……；B2有两条通路……阶段1阶段2阶段3阶段4思考：倒着推；设F(x)表示x到E的最短路径的长度阶段4：F(D1)=3;F(D2)=4;F(D3)=3阶段3：F(C1)=min{F(D1)+C1到D1的路径长度，F(D2)+C1到D2的路径长度}F(C2)……阶段1阶段2阶段3阶段4我们把F(x)称为当前x的状态；在这个例子中每个阶段的选择依赖当前的状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列(E–D3-C4-B2-A)就是在变化的状态中产生的，故有“动态”的含义。阶段1阶段2阶段3阶段4基本概念阶段：问题的过程被分成若干相互联系的部分，我们成为阶段，以便按一定的次序求解。状态：某一阶段的出发位置称为状态，通常一个阶段包含若干状态。决策：对问题的处理中作出的每种选择的行动就是决策。即从该阶段的每个状态出发，通过一次选择性的行动移至下一个阶段的相应状态。IntF(intn){if(n==0||n==1)return1;elsereturnF(n-1)+F(n-2);}时间复杂度？能优化吗？例1:斐波那契（Fibonacci）数列例1:斐波那契（Fibonacci）数列//dp数组，用以保存已经计算过的结果//dp[n]记录F(n)的结果，dp[n]=-1表示没有计算过IntF(intn){if(n==0||n==1)return1;if(dp[n]!=-1)returndp[n];else{dp[n]=F(n-1)+F(n-2);returndp[n];}}时间复杂度？例2:数字三角形一个由非负数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有个数，从第一行的数开始，每次可以选择向左下或是向右下走一格，一直走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大？。数字三角形格子编号穷举？贪心？搜索？数组存储深搜（递归实现）程序清单：voidf(inti,intj){s=s+a[i][j];if(i==4)if(smax)max=s;else{f(i+1,j);s=s-a[i+1][j];f(i+1,j+1);s=s-a[i+1][j+1];}}格子编号分析：考察设以格子(i,j)为首的“子三角形”的最大和为d[i,j]（我们将不加区别的把这个子问题(subproblem)本身也称为d[i,j]），则原问题的解是d[1,1]我们关心的是从某处出发到底部的最大和：从(2,1)点出发的最大和记做d[2,1];从(2,2)点出发的最大和记做d[2,2];从（1，1）出发有两种选择（2，1）或（2，2）在已知d[2,1]和d[2,2]的情况下，应选择较大的一个。思考：考虑更一般的情况，当前位置（i，j）看成一个状态，定义状态（i，j）的指标函数d(i，j)为从格子（i，j）出发时能得到的最大和（包含格子（i，j）本身的值）。原题的解：？d（？，？）格子编号d[1，1]思考：观察不同状态如何转移的。从格子（i，j）出发有两种决策。如果（i，j）格子里的值为a(i，j)向左走需要求“从（i+1，j）出发的最大和”，就是d[i+1，j]。向右走需要求“从（i+1，j+1）出发的最大和”，就是d[i+1，j+1]。如何选呢？思考：边界条件？其中较大的一个，再加上a(i,j)的值就是d[i,j]。d[i,j]=a[i,j]+max{d[i+1,j],d[i+1,j+1]}思想：从上向下思考，从底向上计算数字三角形81321162324时间复杂度O（n2）在计算d[i][j]前，d[i+1][j],d[i+1][j+1]已计算好了！方法1：递推计算voidsolve(){inti,j;for(j=1;j=n;j++)d[n][j]=a[n][j];for(i=n-1;i=1;i--)for(j=1;j=i;j++)d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);}dt(1,1)的调用关系树重复计算intsolve(inti,intj){if(i==n)returna[i][j];elsereturna[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));}方法2：递归计算这样做是正确的，可惜时间效率太低。低效的原因在于重复计算。这个方法和直接递归非常类似，但加入了记忆化(memoization)，保证每个结点只访问一次。//initially,alld[i][j]are-1intsolve(inti,intj){if(i==n)returna[i][j];if(d[i][j]=0)returnd[i][j];d[i][j]=a[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));returnd[i][j];}时间复杂度O（n2）不必事先确定各状态的计算顺序方法3：记忆化搜索动态规划基本思想建立子问题的描述，建立状态间的转移关系，使用递推或记忆化搜索法来实现。•状态定义用问题的某些特征参数描述一个子问题。在本题中用d[i,j]表示以格子(i,j)为根的子三角形的最大和。在很多时候，状态描述的细微差别将引起算法的不同。状态转移方程即状态值之间的递推关系。这个方程通常需要考虑两个部分：一是递推的顺序，二是递归边界（也是递推起点）。•从直接递归和后两种方法的比较可以看出：重叠子问题(overlappingsubprob-lems)是动态规划展示威力的关键。考察：d(1,1)；d(2,1)；d(2,2)……这些问题的共性：都是求从一个位置出发到底部的最大值；是一个共同的问题。d(2,1)d(2,2)重叠子问题考察：d(1,1)；d(2,1)；d(2,2）；可以发现每个子问题结果都是最优的。d(2,1)d(2,2)最优子结构什么是动态规划？动态规划是求解包含重叠子问题的最优化方法动态规划的性质？子问题重叠性质：在用递归算法自顶向下对问题进行求解是，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题可能被重复计算多次。动态规划算法利用此性质，对每个子问题只计算一次，然后将其结果保存起来以便高效重用。最优化子结构性质：若问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，则称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。能用动态规划解决的求最优解问题，必须满足最优解的每个局部也都是最优的无后效性：即某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。数字三角形如果数字三角形(有负数)求的是从上到下的和最接近零。就不符合无后效性原则。动态规划的优势1.动态规划比穷举具有较少的计算次数从数塔问题可以看出，层数为k时，穷举算法求路径的条数2k-1动态规划计算的次数为:穷举最多计算到n=20，动态规划可以算到n=1002.递归需要很大的栈空间，而动规的递推法不需要栈空间；使用记忆化搜索比较容易书写程序。2)1(kk思考：还有一种思考方法，从下向上考虑，观察不同状态如何转移的。从格子（i，j）出发有两种决策。思考：边界情况：？？思考：最后的结果：？？d[1][1]=a[1][1]d[i][1]=d[i-1][1]+a[i][1]{第1列}d[i][i]=d[i-1][i-1]+a[i][i]{对角线}max{d[n][1],d[n][2]……d[n][n]}d(i,j)为：取d(i-1,j)和d(i-1,j-1)中较大的一个加上a(i,j)的和。这种方法本质就是递推例3:最大连续子序列和（MaximumContinuousSubsequenceSum）给定k个整数的序列{A1,A2,...,Ak}，其任意连续子序列可表示为{Ai,Ai+1,...,Aj}，其中1=i=j=k。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个。例如给定序列{-2,11,-4,13,-5,-2}，其最大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即为20。暴力枚举？时间复杂度为？能优化吗？复杂度？令状态dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列的最大和（A[i]必须作为序列的末尾）。以样例为例，序列{-2,11,-4,13,-5,-2}，下标分别设为：0，1，2，3，4，5；dp[0]dp[1]dp[2]dp[3]dp[4]dp[5]问题转换为dp[0],dp[1],…,dp[n-1]中的最大者。最大连续子序列和（MaximumContinuousSubsequenceSum）dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列的最大和（A[i]必须作为序列的末尾）;只有两重情况：1、这个最大和的连续序列只有一个元素，即以A[i]开始，以A[i]结尾；最大和就是A[i]本身。2、这个最大和的连续序列有多个元素，从前面某处A[p]开始（pi)；一直到A[i]结尾。也就是dp[i-1]+A[i];A[p]+…+A[i-1]+A[i]=dp[i-1]+A[i];最大连续子序列和（MaximumContinuousSubsequenceSum）转移方程：dp[i]=max{A[i],dp[i-1]+A[i]}边界：dp[0]=A[0]最大连续子序列和（MaximumContinuousSubsequenceSum）代码：dp[0]=A[0];for(inti=1;in;i++){dp[i]=max(A[i],dp[i-1]+A[i])}结果？动态规划的核心设计状态和状态转移方程问题描述：拦截导弹（NOIP1999）：某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹的枚数和导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，每个数据之间有一个空格），计算这套系统最多能拦截多少导弹？样例输入：838920715530029917015865样例输出：6（最多能拦截的导弹数）例4：最长下降序列题目分析：给定一个正整数序列，求出其中最长下降序列：例如：3892071553002991701586538930029917015865所求的问题：从某一个位置开始的最长下降序列寻找一个状态？设d(i)表示从结点i出发的最长下降序列从d(1)位置出发，考察下一步：389207155300499170d(1)=Max｛d(2)、d(3)、d(4)、d(6)｝+1考虑更一般的情况：d(i)=Max{d(j)}+1并且a[i]=a[j]同时ji初始化d(i)=1for(inti=n-1;i=1;i--){max=0;k=0;for(intj=i+1;j=n;j++)if(a[j]=a[i])&&(d[j]max){max=d[j];k=j;};d[i]=max+1;c[i]=k;记录前驱}从n-1开始递推考虑更一般的情况：d(i)=Max{d(j)}+1并且a[i]=a[j]记忆化搜索边界情况d(n)=1intdp(inti){{if(d[i]0)returnd[i];d[i]=1;for(intj=i+1;j=n;j++)ifa[i]=a[j]d[i]=max(d[i],dp(j)+1);returnd[i];}初始化d[i]为-1结果输出??输出序列voi