专题一：用导数求切线方程的四种类

用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()Pxy，及斜率，其求法为：设00()Pxy，是曲线()yfx上的一点，则以P的切点的切线方程为：000()()yyfxxx．若曲线()yfx在点00(())Pxfx，的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()fx，并代入点斜式方程即可．例1曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程为（）Ａ．34yxＢ．32yxＣ．43yxＤ．45yx1解：由2()36fxxx则在点(11)，处斜率(1)3kf，故所求的切线方程为(1)3(1)yx，即32yx，因而选Ｂ．练习：1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案B2.已知函数y＝f(x)的图像如右图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定答案B2．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()A．－4B．0C．4D．不存在答案B10．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2B．4C．6＋6·Δx＋2·(Δx)2D．6答案D4．函数y＝sin2x的图像在π6，14处的切线的斜率是()A.3B.33C.12D.32答案D分析将函数y＝sin2x看作是由函数y＝u2，u＝sinx复合而成的．解析∵y′＝2sinxcosx，∴y′|x＝π6＝2sinπ6cosπ6＝322．曲线y＝13x3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°答案B6．y＝x3的切线倾斜角的范围为________．答案[0，π2)解析k＝y′＝3x2≥0.8．设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.23π，πB.π2，56πC.0，π2∪56π，πD.0，π2∪23π，π答案D解析由y′＝3x2－3，易知y′≥－3，即tanα≥－3.∴0≤απ2或23π≤απ.14．已知曲线C：y＝x3，求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．解析将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，∴y′|x＝1＝3.∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.14．求曲线y＝sinx在点A(π6，12)处的切线方程．解析∵y＝sinx，∴y′＝cosx.∴y′|x＝π6＝cosπ6＝32，k＝32.∴切线方程为y－12＝32(x－π6)．化简得63x－12y＋6－3π＝0.6．曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1答案D例3求曲线y＝1x2－3x在点(4，12)处的切线方程．【思路分析】将函数变形为y＝(x2－3x)－12，将其看做是由函数y＝u－12、u＝x2－3x复合而成．【解析】∵y＝1x2－3x＝(x2－3x)－12，∴y′＝－12(x2－3x)－32·(x2－3x)′＝－12(x2－3x)－32·(2x－3)．∴曲线y＝1x2－3x在点(4，12)处的切线斜率为k＝y′|x＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y－12＝－516(x－4)，即5x＋16y－28＝0.探究3本题不要将函数y＝1x2－3x看做是由y＝1u，u＝v，v＝x2－3x三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题3(1)曲线y＝3x2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．【答案】3x－2y＋1＝0(2)y＝11－x2的水平切线方程是________．【解析】令y′＝0，得x＝0，∴y＝1.12．求曲线y＝2x－x3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积．答案x＋y＋2＝0；28．曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B．4e2C．2e2D．e2答案D解析∵y′＝12·e12x，∴切线的斜率k＝y′|x＝4＝12e2.∴切线方程为y－e2＝12e2(x－4)．∴横纵截距分别为2，－e2，∴S＝e2，故选D.11．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案3解析f′(1)＝12，f(1)＝12×1＋2＝52，∴f(1)＋f′(1)＝3.5．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像，则f(2)＋f′(2)＝________.答案98解析由题图知，切线方程为x4＋y4.5＝1，f(2)＝4.5·(1－24)＝94，f′(2)＝－4.54＝－98.∴f(2)＋f′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线240xy的平行的抛物线2yx的切线方程是（）Ａ．230xyＢ．230xyＣ．210xyＤ．210xy2解：设00()Pxy，为切点，则切点的斜率为0022xxyx|．01x∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)yx，即210xy，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为2yxb，代入2yx，得220xxb，又因为0，得1b，故选Ｄ．练习：3．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8)D．(－12，－18)答案B13．若曲线y＝2x3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．解析∵y′|x＝x0＝limΔx→02x0＋Δx3－2x30Δx＝6x20，∴6x20＝6.∴x0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求．3．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.12答案A解析y′＝12x－31x，由12x－3x＝12.得x＝3或x＝－2.由于x0，所以x＝3.3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．f′(x0)＝0B．f′(x0)0C．f′(x0)0D．f′(x0)不能确定答案B5．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案B7．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为π4的点是()A．(0,0)B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)答案D2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0答案A解析∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，∴l的斜率为4.∵y′＝4x3，∴由切线l的斜率是4，得4x3＝4，∴x＝1.∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.故选A.11．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．答案4x－4y－1＝0解析k＝4－12－－1＝1，又y′＝2x，令2x＝1，得x＝12，进而y＝14，∴切线方程为y－14＝1·(x－12)，即4x－4y－1＝0.13．如果曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x－y－4＝013．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案3x－y－11＝0解析y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1，时y＝－14.∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.9．设直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b的值为________．答案ln2－14．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.12C．－12D．－1答案A14．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.答案2解析由题意得y′＝aeax，y′|x＝0＝aea×0＝2，a＝2.10．函数f(x)＝asinax(a∈R)的图像过点P(2π，0)，并且在点P处的切线斜率为4，则f(x)的最小正周期为()A．2πB．πC.π2D.π4答案B解析f′(x)＝a2cosax，∴f′(2π)＝a2cos2πa.又asin2πa＝0，∴2πa＝kπ，k∈Z.∴f′(2π)＝a2coskπ＝4，∴a＝±2.∴T＝2π|a|＝π.6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是()A.5B．25C．35D．0答案A解析y′＝22x－1＝2，∴x＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d＝|2×1－0＋3|22＋12＝5.19．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．答案16272解析y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得x1＝1或x2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x－y＋1＝0和x－y－527＝0.∴d＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．下列说法正确的是()A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在答案D例3求过曲线32yxx上的点(11)，的切线方程．3解：设想00()Pxy，为切点，则切线的斜率为02032xxyx|．∴切线方程为2000(32)()yyxxx．320000(2)(32)()yxxxxx．又知切线过点(11)，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)xxxx．解得01x，或012x．故所求切线方程为(12)(32)(1)yx，或13112842yx，即20xy，或5410xy．评注：可以发现直线5410xy并不以(11)，为切点，实际上是经过了点(11)，且以1728，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点(20)，且与曲线1yx相切的直线方程．4解：设00()Pxy，为切点，则切线的斜率为0201xxyx|．∴切线方程为00201()yyxxx，即0200