近似数及其计算方法

近似数及其计算方法江苏省泗阳县李口中学沈正中一、求近似数的三种方法1.四舍五入法这是一种最常用的求近似数的方法，就是看确定保留数位的下一位数字，比5小的（即0、1、2、3、4），就把这个数字以及后面的所有数字舍去；如果这个数字比4大（即5、6、7、8、9），就把这个数字以及后面的所有数字舍去后，向前一位进一。如64.96283，保留到万分位写为64.9628，即64.96283≈64.9628（以下类推），保留到千分位写作64.963，保留到百分位写作68.96，保留到十分位写作64.0，保留到整数写作64。由此可以看出：“四舍”时，近似数比准确值小，“五入”时，近似数比准确值大。2.进一法在实际生活中，有时把一个数的保留数位确定后，只要下一位数字或后面的数字有不为0的（即1、2、3、……、9），都要向前一位进一。如：同学们同时去划船，每只船上最多能载7个同学，17个同学至少需几只船？17÷7≈2.4，就是说17个同学需要2只船还余3人，这3人还需一只船，所以一共需要3只船。即17÷7＝≈3(只)。由此可知：用进一法得到的近似数总比准确值大。3.去尾法在实际生活中，有时把一个数的保留数位确定后，不管下一位数字或后面的数字是几（即0、1、2、3、……、9），都不要向前一位进一。如：用一根5m米长水管做成一批27cm长相同规格的水管，可以做成多少根？500÷27＝≈18（根）由此可知：用去尾法得到的近似数总比准确数小。二、近似数的四则混合运算1.近似数的加减法在一般情况下，近似数相加减的和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同，计算法则：（1）确定结果精确到哪一个数位（与已知数中精确度最低那个数精确数位相同）；（2）把已知数中的其它数，四舍五入到已知数中精确度最低那个数数位的下一位；（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。【例1】求近似数25.4、0.456、8.738和56的和。解：25.4＋0.456＋8.738＋56≈25.4＋0.5＋8.7＋56＝90.6≈91【例2】求近似数0.095减0.002173的差。解：0.095－0.002173≈0.0095－0.0022＝0.0928≈0.0932.近似数的乘除法在一般情况下，近似数相乘除的积或商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的相同，计算法则：（1）确定结果有多少个有效数字（与已知数中有效数字最少的相同）；（2）把已知数中其它数，四舍五入到比已知数中有效数字最少的多一个；（3）进行计算（除法要比结果有效数字多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个数。【例3】（1）求近似数26.79与0.26的积。（2）求近似数9.7除以近似数31.48的商。解：（1）26.79×0.26≈26.8×0.26＝6.968≈7.0（2）9.7÷31.48≈9.7÷31.5≈0.307≈0.31【例4】量得一个圆的周长约是3.73厘米，求这个圆的直径。分析：题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。其中3.73是近似数，有三个有效数字；π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字。解3.73÷π≈3.73÷3.142÷1.19（厘米）答：这个圆的直径约是1.19厘米。三、近似数混合运算方法计算法则：近似数的混合运算，要分步来做。运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。【例5】完成下面近似数的混合计算：57.71÷5.14＋3.18×1.16－4.6307×1.6。解：原式≈57.71÷5.14＋3.18×1.16－4.63×1.6≈11.23＋3.689－7.41≈7.5说明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中间结果11.23，3.689，7.41，都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。（2）11.23＋3.689－7.41是加减法，各数中精确度最低的是7.41，这个数实际上只有两个有效数字（7、4，1是多取的），就是只精确到十分位。因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得7.5。【例6】有一块梯形土地，量得上底约为68.73米，下底约为104.20米，高约为9.57米。求这块土地的面积。解：（68.73＋104.20）×9.57÷2＝172.93×9.57÷2≈1654.9÷2＝827.45≈827（平方米）答：这块土地的面积约为827平方米。说明：（1）68.73+104.20，所得的中间结果172.93，精确到0.01，没有多取的数位。（2）因2是准确数，在172.93×9.57÷2中，有效数字最少的是9.57，是三个有效数字，按法则172.93×9.57结果应取4个有效数字，但由于172.93没有多取一个有效数字，所以172.93×9.57结果应取5个有效数字为1654.9，最后结果按四舍五入到三个有效数字，得827。四、预定精确度的计算法则已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精确度，通常称其为“预定精确度的计算”。预定精确度的计算法则，一般有：1．预定结果的精确度用有效数字给出的问题。如果预定结果有n个有效数字，那么原始数据一般取到n+1个有效数字。2．对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。【例7】圆形面积大约是140平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径r应达到怎样的精确度？π应取几个有效数字的近似值？解：因圆形面积大约是1.4×10平方米，为了使面积S具有两个有效数字，π和r就都要有三个有效数字。因为r应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到0.01米。π应该取三个有效数字的近似值3.14。【例8】梯形上底a约50米，下底b约60米，高h约40米。测量时，应达到怎样的精确度，才能使算出的面积S有两个有效数字？解：因a约5×10米，b约6×10米，高h约×40米，要使S有两个有效数字，则（a+b）与h都应该有三个有效数字。所以，测量h应精确到0.1米，而测量上底和下底，只需要精确到1米（因a+b有三个整数数位。）在实际测量时，a、b、h都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。