中考“方程与方程组”复习指导

中考“方程与方程组”复习指导江苏刘顿本文所要复习的知识有：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程以及简单的分式方程，为了帮助同学们在有限的温考时间里牢固地掌握这些知识，决胜中考，现从以下几个方面加以归纳与研练，供参考.一、复习目标与要求1，通过复习能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.2，了解一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程以及简单的分式方程及其相关概念，会解上述这些方程，并知道解分式方程必须验根.3，能以方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力.4，在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值.二、中考展望与热点透视方程的有关知识历来是中考命题的热点内容之一，是每卷必考的知识，主要用填空题、选择题来考查方程的有关概念和基础知识，用解答题考查其解法以及简单的应用.近年来，有关方程的题型在保留以往的题型基础上，还出现了一大批具有较强的时代气息、紧密联系日常生活实际的应用题，比如开放型问题、人物对话等等，试题一部分以基础知识为主，难度不大；另一部分则渗透到几何图形、函数等知识中，构成集综合与压轴于一体的有一定难度的试题，不过同学们一旦找到求解的切入点，问题还是不难的，同学们一定要有足够的信心和勇气.三、中考命题趋势及复习对策由于方程的在中考的特殊地位，对方程的考查只有加强，不会削弱，同时会侧重于实际应用，将有一大批具有较强的时代气息，格调清新、设计自然、紧密联系日常生活实际的应用题涌现，还将多考查方程思想和转化思想以及让同学们收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及创新实践能力.针对这种中考的命题趋势，同学们在复习时应掌握解方程的方法，还应在方程的实际应用上多下功夫，加大力度，多观察日常生活中的实际问题.四、思想方法复习方程的知识要结合教材内容，注重数学思想方法的运用.常见的思想方法有：1，消元思想.在处理二元一次方程组时，为了能达到求解的目的，必须通过消元，使其变成一元一次方程.2，整体思想.在解方程时，有时为了求解的方便，结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，可以降低求解的难度，使整个过程简捷.3，转化思想.转化是解决有关方程问题的桥梁，方程中的每一个问题无不体现转化思想.解一元一次方程最终要转化成ax＝b；解二元一次方程组要将问题转化成一元一次方程，解一元二次方程要将二次转化成一次，解分式方程要将其转化成整式方程，等等.4，数形结合思想.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.利用方程解决几何图形中的问题，就是要根据几何图形的特征，利用图形的性质建立方程模型，使问题获解.5，方程思想.本单元虽然是复习的方程知识，但方程思想仍贯穿始终，如利用其它知识构造方程求解新有问题等等.6，把工程的总工作量看成1.为了求解的方便，我们在处理有关工程类应用题时，通常要反工程问题设为单位1，这样不但便于列方程，而且还容易解方程.五、知识要点回顾1，等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是式.等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式.2，一元一次方程（组）的基本概念：①含有未知数的等式叫做方程；②求方程的解的过程叫做解方程；③只含有一个未知数，并且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不是0的方程叫做一元一次方程；④将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项；⑤含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程.两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组；⑥分母中含有未知数的方程叫做分式方程.3，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1.解二元一次方程组的基本思路是消元，使之转化为一元一次方程.消元的方法有代入消元法和加减消元法.4，一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2＋bx+c＝0(a≠0）.一元二次方程的解法：（1）开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法.5，解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解.而转化的关键步骤是去掉分式方程中的分母，去分母一般是用分式方程中各分母的最简公分母去乘以分式方程的两边.解分式方程的一般步骤是：①方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；②解这个整式方程；③检验.验根的方法有两种：一是将求出的解代入原方程中看是否使原方程成立；二是代入最简公分母中看其结果是否为零.在方程变形过程中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根就叫做原方程的增根.产生增根的原因在于把原分式方程转化为整式方程时，由于是在分式方程的两边同时乘以含有字母的最简公分母所至的，这也是解分式方程必须检验的原因所在.6，列一次方程（组）、一元二次方程或分式方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形：①和、差、倍、分问题，即两数和＝较大的数+较小的数，较大的数＝较小的数×倍数±增（或减）数；②行程类问题，即路程＝速度×时间；③工程问题，即工作量＝工作效率×工作时间；④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度；⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系；⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；⑦数字问题，即有若个位上数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这三位数可表示为100c+10b+a，等等；⑧经济问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品进价商品的利润×100％.等等.六、中考试题热点题型解密（所选例题均出自2007年全国部分省市中考试卷）考点1基本概念例1（乐山市）已知x＝－1是关于x的方程2x2+ax－a2＝0的一个根，则a＝_____.分析已知方程的根，求方程中的其它字母，可以直接将这个根代入方程，这样即可求出字母系数.解因为x＝－1是关于x的方程2x2+ax－a2＝0的一个根，所以有2(－1)2+a(－1)－a2＝0，即a2－a－2＝0，解得a1＝1，a2＝－2.故应填1，－2.考点2解方程例2（郴州市）解方程组：3,23()11.xyyxy分析可先对原方程组化简，然后运用加减消元法求解.解原方程组化为3,311.xyxy①③由③－①得2x＝8，解得x＝4.把x＝4代入①，得4－y＝3，解得y＝1.所以4,1xy=是原方程组的解.例3（常州市）解方程：（1）31x＝4x；（2）x2+2x－2＝0.分析对于分式方程可以直接去分母使其转化为整式方程，注意必须验根；考虑到一元二次方程的一次项系数是偶数，使结构又比较简单，可运用配方法求解.解（1）去分母，得3x＝4x－4，解得x＝4.经检验，x＝4是原方程的根.所以原方程的根是x＝4.（2）对原方程配方，得(x+1)2＝3，两边开平方，得x+1＝±3.所以x1＝－1+3，x2＝―1―3.考点3确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围例4（天津市）已知关于x的一元二次方程(m－2)2x2+(2m+1)x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＞34B.m≥34C.m＞34且m≠2D.m≥34且m≠2分析已知方程(m－2)2x2+(2m+1)x+1＝0是一元二次方程，且两个不相等的实数根，所以方程必须满足二次项系数不等于0且求根公式中的被开方式大于0，从而列式即可求解.解因为关于x的一元二次方程(m－2)2x2+(2m+1)x+1＝0有两个不相等的实数根，所以有b2－4ac＝(2m+1)2－4×(m－2)2×1＞0，且(m－2)2≠0，所以m＞34且m≠2.故应选C.考点4求与方程的解有关的代数式的值例4（成都市）已知x是一元二次方程x2+3x－1＝0的实数根，那么代数式2336xxx÷522xx的值为.分析要求代数式的值，可先将代数式化简，由于要求的代数式中的字母与一元二次方程的根有关，所以只要对一元二次方程经过必要的变形，使之贴近已经化简的代数式，即可求解.解因为2336xxx÷522xx＝332xxx÷292xx＝332xxx×233xxx＝133xx.而x是一元二次方程x2+3x－1＝0的实数根，所以x(x+3)＝1，所以原式＝131＝13.故应填13.考点5利用新定义构造方程解题例6（通州市）a，b，c，d为实数，先规定一种新的运算：abbd＝ad－bc，那么2(1)x45＝18时，x＝______.分析由于abcd＝ad－bc，于是可以仿照这一等式的结构将2(1)x45＝18写成整式方程即可求解.解因为abcd＝ad－bc，所以2(1)x45＝2×5－4(1－x)＝4x+6，即4x+6＝18，解得x＝3.考点6阅读理解例7（德阳市）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－ba，x1·x2＝ca.根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则21xx+12xx的值为______.分析由于要求的代数式21xx+12xx，而21xx+12xx＝222112xxxx＝21212122xxxxxx，这样只要通过阅读，由方程求出x1+x2和x1·x2，再代入即可求解.解通过阅读，因为x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，所以x1+x2＝－6，x1·x2＝3.又因为21xx+12xx＝222112xxxx＝21212122xxxxxx，所以原式＝26233＝10.考点7开放型问题例8（自贡市）请写出一个值k＝_______，使一元二次方程x2－7x+k＝0有两个不相等的非0实数根.分析要使一元二次方程x2－7x+k＝0有两个不相等的非0实数根，显然满足条件的k值不止一个，即答案不惟一，只要符合条件即可.解答案不唯一.如6，10，等等.考点8探索规律例9（咸宁市）如图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组处左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n.（1）将方程组1的解填入图中；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；（3）若方程组1,16xyxmy的解是10,9.xy求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？分析通过求解方程组1，再结合方程组2，方程组3，从而可以发现其内在的规律性的问题，这样就可以确定方程组n和它的解，进而就能顺利地解答（3）.解（1）解方程组1,1.xyxy得1,0.xy（2）通过观察分析，得方程组中第1个方程不变，只是第2个方程中的y系数依次变为－1，－2，－3，……n，第2个方程的常数规律是n2，它们解的规律是x＝1，2，3，……n，相应的y＝0，－1，－2，……，－(n－1).由此方程组n是21,,xyxnyn它的解,1.xnyn（3）因为10,9xy是方程组1,16xyxmy的解，所以有10－m×(－9)＝16，解得m＝23.即原方程组为1,216.3xyxy所以该方程组是否符合（2）中的规律.考点9应用题例10（深圳市）A，B两地相距18公里，甲工程队要在A，B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A，B