中考几何中“线段和的最值”问题的教学策略

中考几何中“线段和的最值”问题的教学策略的研究一、问题产生的背景在初四总复习中，我们在教学中发现有一类求线段和差极值的题目，学生常常找不到解题的突破口，教学难度及学生掌握难度较大。如：（中考数学选）如图，已知直线y＝21x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝21x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．问题的第三问常令许多同学甚至是优等生的同学都瞠目结舌。综观近几年的数学中考题，此类题频频出现在选择、填空、综合题中。通过平日测试来看，此类题的失分很高，应该引起我们的重视。二、造成学生对问题困惑的原因我们一起研究分析后，发现几何极值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。学生对几何极值模型的陌生，及教师在复习时对教材例习题的拓展延伸程度不够，是导致学生对这类问题困惑的根本原因。课本中的例题与习题，都是通过筛选的题目的精华，在解题的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力的过程中具有示范性和启发性．它们的解题方法和结论本身都具有广泛迁移的可能．现实教学过程中，教师对教材例题、习题开发的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的开发能促使学生的学yxCBADOEy习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界．正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力．三、问题前后知识的联系：课本题目再现：鲁教版七年级教材第一册第一章第三节第轴对称的性质15页试一试：如图所示，要在公路帝修建一个蔬菜收购站，由蔬菜基地A，B向收购站运送蔬菜，收购站应建在什么地方，才能使从A,B到它的距离之各最短？本题涉及的知识不是一个简单的轴对称变换，其变化过程实际是求一类几何极值的过程，此题模式是求几何几何的典型模式。本题的解答是：作出点A的轴对称点A1，连接A1B交直线l于点E，则点E为所求的奶站位置。利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题。此题的结论广泛应用于三角形、四边形及函数中几何极值的求解。复习时遇到这类题目，可以引起我们很多的联想，比如：这个模型成立的条件和依据是什么？涉及到哪些知识点?应用了怎样的数学思想和方法？求和的最大值这样求，那么差的极值是什么情况？求几何极值都有那几类问题？初中涉及到求解几何极值都有那些依据？有那些常见的图形？有那些常见的方法？用函数知识能否解答？进而思考在初中数学中极值情况有哪些方法?几何有极值问题又会让我们想起几何定值问题，那么定值问题又如何去研究？有无规律？此问题有那些变式？都可以怎样变？一个一个的数学问题可以引领我们进入一个让我们极为兴奋的数学王国中去，把所学的知识连成线，连成串，让我们去感受数学的精彩缤纷的魅力。四、解决本问题的设想：引领学生建立模型，通过对模型的熟练应用，适当的对原模型进行拓展的延伸，建立更完整的知识体系，达到解决问题的目的。三、解决问题的策略（一）引领学生建立数学模型数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，在教学中我们可以选择适当的建模专题，引导学生通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学模型。1、模型一A、理论依据：两点之间，线段最短B、用途：求两条线段和的最小值当P运动到E时，PA＋PB最小课本原型：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点A的轴对称点A1，连接A1B交直线l于点E，则点E为所求的奶站位置。利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题。把模型一时行拓展延伸，不难会得到如下新模型：2、模型二A、理论依据：三角形两边之差小于第三边B、用途：求两条线段差的最大值当Q运动到F时，（QD－QC）最大二、引领学生应用模型1、引领解题例：在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标..第一步寻找、构造几何模型要求△PBC的周长最小，只要PB+PC最小就好了！第二步：转化图形，进行计算把PB+PC转化为PA+PC！当P运动到H时，PA+PC最小2、反思解题方法：此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建奶站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和或差，实现“折”转“直”即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建奶站问题”。3、变换模型应用的场景：【关联题1】应用于三角形中133222AC（2011湖北黄石市中考题）如图4，在等腰⊿ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则⊿ABC的周长是（）析解：把等腰⊿ABC沿AC翻折可得一菱形，由上面【关联题1】的解答可知，PM+PN的最小值就是菱形的边AB的长，故AB=2，由AB=BC=2，∠ABC=120°易求得，因此⊿ABC的周长是()。【关联题2】应用于四边形中（2009湖北荆门市中考题）如图2，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．【关联题3】应用于圆中（2010乐山市中考题）如图3，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B关于MN的对称点B＇，[中国教育文库:]连结OB＇、AB＇，AB＇交MN于点P，则AB＇的长为PA+PB的最小值，且易知∠AOB＇即△AOB＇为等腰Rt△，故=90°，【关联题4】应用于函数中（2010济宁市中考题）如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.（威海市2009年中考题）如图5，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴上l一动点，(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；(3)以点A为圆心，以AD为半径作⊙A，①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切。②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标。析解：（1）可设y=a(x+1)(x-3)，再代入点C坐标，即可求得y=-x2+2x+3。（2）利用点A、B关于直线l：x=1对称，连结BC交l于D，则此时AD+CD取得最小值；设l与x轴交点为E，由⊿BED∽⊿BOC可求得DE=2，BD=2姨2=AD，所以D的坐标为(1，2)。（3）①如图6,连结AD，由点A、B、D、E的坐标易知⊿ADE和⊿BDE均为等腰Rt△，故∠ADE=∠BDE=45°所以∠ADB=90°，所以直线BD与⊙A相切。②由对称性知点D的另一个坐标是（1，-2）。【关联题5】应用于实际问题（2011济宁市）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。(1)、若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.八、平行性练习题：1、（2010年滨州市）如图，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若AE=2，EM+CM的最小值为________。2、如图，菱形ABCD中，∠BAD=600，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为________.3、如图，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一动点，PA+PC的最小值为________。4．在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是．6、【威海中考】如图，已知直线y＝21x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝21x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．yxCBADOEy