中考压轴题

中考压轴题(3)例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒(t＞0).(1)当t=2时，AP=_1_，点Q到AC的距离是__85__；(2)在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.解：(2)作QF⊥AC于点F，如图1，AQ=CP=t.∴AP=3-t∵∠AFQ=∠C=90°，∠A=∠A∴△AQF∽△ABC，且BC=2253=4∴QFAQBCAB，即45QFt∴QF=45t∴S=12(3-t)·45t即S=-25t2+65t(3)四边形QBED能成为直角梯形.①当DE∥QB时，如图2.∵DE⊥PQ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形∴∠AQP=90°∴易得△APQ∽△ABC∴AQAPACAB即335tt解得t=98②当PQ∥BC时，如图3.∵DE⊥PQ∴DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形∴∠APQ=90°∴易得△AQP∽△ABCACBPQEDAC)BPQD图1E)FACBPQED图3ACBPQED图2∴AQAPABAC即353tt解得t=158(4)t=52或t=4514分析：①点P由C向A运动，DE经过点C，如图4.方法一：连接QC，作QG⊥BC于点G.PC=t，QC2=QG2+CG2=[35(5-t)]2+[4-45(5-t)]2由PC2=QC2，得t2=[35(5-t)]2+[4-45(5-t)]2解得t=52方法二：∵CQ=CP=AQ，∴∠QAC=∠QCA∴∠B=∠BCQ，∴CQ=BQ∴AQ=BQ=52，∴t=52②点P由A向C运动，DE经过点C，如图5.PC=6-t，QC2=QG2+CG2=[35(5-t)]2+[4-45(5-t)]2由PC2=QC2，得(6-t)2=[35(5-t)]2+[4-45(5-t)]2解得t=4514AC(E))BPQD图4GAC(E))BPQD图5G例2如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO.(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由.(2)令m=CMNO四边形四边形SSCFGH，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由.(3)在(2)的条件下，若CO=1，CE=13，Q为AE上一点且QF=23，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由.解：(1)EO＞EC.理由如下：由折叠知，EO=EF在Rt△EFC中，EF为斜边，EF＞EC∴EO＞EC(2)m为定值∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO-EC)=CO·(EO-EC)S四边形CMNO=CO·CM=CO·|CE-EO|=CO·(EO-EC)∴m=CMNO四边形四边形SSCFGH=1(3)∵CO=1，CE=13，QF=23∴EF=EO=1-13=23=QF∴cos∠FEC=12，∴∠FEC=60°∴∠FEA=∠OEA=(180°-60°)÷2=60°∴∠EAO=30°，△EFQ为等边三角形，EQ=23作QI⊥EO于I，则EI=12EQ=13，IQ=32EQ=33∴IO=13，∴Q(33，13)∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)，Q(33，13)，m=1∴可求得b=-3，c=1∴抛物线解析式为y=x2-3x+1(4)如图，由(3)得，AO=3EO=233当x=233时，y=(233)2-3×233+1=13＜AB∴P点坐标为(233，13)∴BP=1-13=23若△PBK与△AEF相似，由(3)得：∠BPK=30°或60°.过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=60°时，RT=3PR=23②当∠RTP=30°时，RT=3PR=2∴T1(0，1)，T2(0，-13)，T3(0，73)，T4(0，-53)(注：点K也可以在点B的右边，因此点T可以在R的下方)例3如图，一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2，0)，B(m+2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC.(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4∴C(m，-2)把C(m，-2)代入y=a(x-m)2-4a解得a=12∴抛物线的解析式为：y=12(x-m)2-2(2)∵m为小于零的常数∴将抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位，可以使顶点在坐标原点.(3)由(1)得D(0，12m2-2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形.∵△BOD为直角三角形∴只能OD=OB∴12m2-2=|m+2|①当m+2＞0时，解得m=4或m=-2(舍去)②当m+2＜0时，解得m=0(舍去)或m=-2(舍去)③当m+2=0时，即m=-2时，B、O、D三点重合(舍去)综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形.BDACOxy例4如图，直线y=-34x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=54x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位)，点E的运动时间为t(秒).(1)求点C的坐标；(2)当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式；(3)求(2)中S的最大值；(4)当t＞0时，直接写出点(4，92)在正方形PQMN内部时t的取值范围.解：(1)由题意，得36454yxyx，解得3154xy∴C(3，154)(2)根据题意，得AE=t，OE=8-t.∴点Q的纵坐标为54(8-t)，点P的纵坐标为34t∴PQ=54(8-t)-34t=10-2t当MN在AD上时，10-2t=t，解得t=103.当0＜t≤103时，S=t(10-2t)，即S=-2t2+10t.当103≤t＜5时，S=(10-2t)2，即S=4t2-40t+100.(3)当0＜t≤103时，S=-2t2+10t=-2(t-52)2+252∴当t=52时，S最大值=252.当103≤t＜5时，S=(10-2t)2=4(t-5)2∵103≤t＜55时，S随t的增大而减小.∴当t=103时，S最大值=1009.∵252＞1009∴S的最大值为252(4)4＜t＜225或t＞6分析：①当PQ在点C的右边时：∵OA=8∴t＞4由396425942536444xxxxx，解得x＞185∴t＜225∴4＜t＜225②当PQ在点C的左边时：由396425942356444xxxxx，解得x＜2∴t＞6例5如图，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为O的三角形)，解答下列问题：(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是_6_秒；(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是_8_秒；(3)求y与x之间的函数关系式.解：(3)①如图，当0≤x＜3时.y=S△APQ=12AP·AQ·sin60°=12·x·2x·32=32x2②如图，当3≤x＜6时.y=S△APQ=12AP·CQ·sin60°=12·x·(12-2x)·32=-32x2+33x③当6≤x≤9时，设PQ与AC交于点O.过Q作QE∥CB，则△CQE为等边三角形.∴QE=CE=CQ=2x-12∵QE∥CB，∴△COP∽△EOQ∴612122OCCPxOEEQx∴OC=13CE=13(2x-12)y=S△AOP=S△ACP-S△COP=12·AC·CP·sin60°-12·OC·CP·sin60°=12×6×(x-6)×32-12×13(2x-12)×(x-6)×32=-36x2+732x-153第(2)小步分析：如图，当△APQ是等边三角形时，∠PAQ=60°∴易得△ADQ≌△ACP∴DQ=CP∴18-2x=x-6解得x=8例6矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A(6，0)、C(0，-3)，直线y=-34x与BC边相交于D点.(1)求点D的坐标；(2)若抛物线y=ax2-94x经过点A，试确定此抛物线的表达式；(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标.解：(1)点D的坐标为(4，-3).(2)把A(6，0)代入y=ax2-94x得36a-94×6=0，解得a=38∴y=38x2-94x(3)抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件.∵OA∥CB∴∠P1OM=∠CDO∵∠OP1M=∠DCO=90°∴△P1OM∽△CDO∵抛物线的对称轴x=3∴P1(3，0)过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2.∵对称轴平行于y轴∴∠P2MO=∠DOC∵∠P2OM=∠DCO=90°∴△P2MO∽△DOC∴点P2也符合条件，∠OP2M=∠CDO∵P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°∴△P2P1O≌△DCO∴P1P2=CD=4∵点P2在第一象限∴P2(3，4)∴符合条件的点P有两个，分别是P1(3，0)、P2(3，4)yO3CDB6Ax34yxyO3CDB6Ax34yxAMP1P2