中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》

2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型：一、两线段和的最小值：已知两点A、B与直线l，直线l上有一动点P，求PA+PB的最小值。求出A点关于直线l的对称点/A，连接BA/交直线l于点P，则点P为所求最小值所取的点，min/PBPABA。本题可转化为求ABP的周长的最小值。拓展：已知两点A、B与两直线1l与2l，动点P在1l上，动点Q在2l上，求AP+PQ+QB的最小值。求出A点关于直线1l的对称点/A，再求出B点关于直线2l的对称点/B，连接//BA分别交直线1l于点P、交直线2l于点Q，则P、Q为所求最小值所取的点，min//QBPQAPBA。本题可转化为求四边形APQB的周长的最小值。二、两线段差的最大值：已知两点A、B与直线l（AB与l不平行且在l同侧），动点P在l上，求maxPBPA。连接AB并延长交直线l于点P，则点P为所求最大值时所取的点，maxPBPAAB。yxOBA/PA2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345所需知识点：一、中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：已知ABC的顶点分别为332211y,xC,y,xB,y,xA，则ABC的重心G为3,3321321yyyxxx。二、直线的斜率：直线的斜率是指直线与x轴正方向所成角的正切值。00900时，0tank；0018090时，0180tantan0k。已知两点2211y,xQ,y,xP，则直线PQ的斜率：2121xxyykPQ。三、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：111bxky:l，222bxky:l021kk。（一）12121lbbkk∥2l。（二）121lkk与2l相交。特别是21211llkk。四、求已知点关于已知直线的对称点：已知点00y,xP与直线0kbkxy:l，求点P关于直线l的对称点/P。过点P作直线l的垂线/l。则kk/1，又因为/l过点P，将P代入//bxky:l1，既可求出/l。将/l与l联立得/bxkybkxy1，既可求出垂足G点的坐标11y,x。因为G为线段/PP的中点，所以利用中点公式可求得/P为010122yy,xx。2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345典型例题课后练习：例一（09深中四月月考）：已知：抛物线02acbxaxy与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为P，且52PB。（1）求P点的坐标及抛物线的解析式；（5）（2）求MOP的面积（O为坐标原点）；（2）（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使MOQ的周长最短？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。（2）8642-2-4-6-8-10-5510ABMP2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345例二（05深圳中考题）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）（1）（2分）求点A、E的坐标；（2）（2分）若y=2637xbxc过点A、E，求抛物线的解析式。（3）（5分）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。ABCODEyx2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345例三(2009衢州卷)：如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线2yax上．(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线2yax，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．4x22A8-2O-2-4y6BCD-442数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345课后练习：1、如图，在边长为1的等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点P是BC边的中垂线MN上任一点，则PC＋PD的最小值为．2、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．3、先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）【材料一】：如图⑴，直线l上有1A、2A两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点1A、2A的距离之和最小，很明显点P的位置可取在1A和2A之间的任何地方，此时距离之和为1A到2A的距离.如图⑵，直线l上依次有1A、2A、3A三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点1A、2A、3A的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点2A处，此时距离之和为1A到3A的距离.(想一想，这是为什么？)不难知道，如果直线l上依次有1A、2A、3A、4A四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点2A和3A之间的任何地方；如果直线l上依次有1A、2A、3A、4A、5A五个点，则相应点P的位置应取在点3A的位置.【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为ab.【问题一】：若已知直线l上依次有点1A、2A、3A、……、25A共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在；若已知直线l上依次有点1A、2A、3A、……、50A共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在.【问题二】：现要求112397xxxxxx的最小值，根据问题一的解答思路，可知当x值为时，上式有最小值为.DNMPCBA第16题图图⑴图⑵A3A2lA1A2lA1第14题图DABCPMN2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073454、已知抛物线2yaxbx(a≠0)的顶点在直线112yx上，且过点A(4，0)．⑴求这个抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.⑶设点C(1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使ADCD的值最大，请直接写出点D的坐标.2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073455、如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1-），且P（1-，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图11xyBhx=2xAOMQP图12xyfx=2xBCAOMPQ