中考压轴题分类专题五《抛物线中的四边形》

2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为平行四边形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1）AB为边时（2）AB为对角线时二、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为距形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为菱形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直四、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为正方形，求点P坐标。在四边形ABPQ为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直在四边形ABPQ为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等五、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为梯形，求点P坐标。分三大类进行讨论：（1）AB为底时（2）AB为腰时（3）AB为对角线时2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则由勾股定理可得：221221yyxxPQ。二、圆的方程：点y,xP在⊙M上，⊙M中的圆心M为b,a，半径为R。则RbyaxPM22，得到方程☆：222Rbyax。∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。三、中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。四、任意两点的斜率公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则直线PQ的斜率：2121xxyykPQ。五、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：111bxky:l，222bxky:l021kk。（一）12121lbbkk∥2l。（二）121lkk与2l相交。特别是21211llkk。_Q_G_P_O2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345典型例题：例一（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.图9yxOEDCBAGABCDOxy图102数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345例二、如图，反比例函数y＝kx的图象与二次函数cbxxy2的图象在第一象限内相交于A、B两点，A、B两点的纵坐标分别为1，3，且AB=52．（１）求反比例函数的解析式；（２）求二次函数的解析式．（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－32x2+bx+c经过A（0，－4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2－x1=5．（1）求b、c的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）（第25题图）AxyBCO2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345例4、（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线2(1)33(0)yaxa经过点(2)A，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()ts．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．xyMCDPQOAB2数学教室*李雄老师（版权所有）13713807345同步训练：1、如图，抛物线y=ax2+bx+c交坐标轴于点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3）。（1）求此抛物线函数解析式及顶点M的坐标。（2）若直线CM与x轴交于点D,E是C关于此抛物线对称轴的对称点，试判断四边形ADCE的形状并说明理由。（3）若P是该抛物线上异于A、B两点的一个动点，连接BP交y轴正半轴于点N，是否存在点P使△AOC与△BON相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由。xyOABCEDMxyOABC2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073452如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数214yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(01)，，直线l过(01)B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于CQ，，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线214yx有无其它公共点？并说明理由．xlQCPAOBHRy2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073453、（2009年广东广州）如图13，二次函数)0(2pqpxxy的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为45。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073454、（2009年烟台市）如图，抛物线23yaxbx与x轴交于AB，两点，与y轴交于C点，且经过点(23)a，，对称轴是直线1x，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点PACN，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3yx与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与BD，重合），经过ABE，，三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF△的形状，并说明理由；（4）当E是直线3yx上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．OBxyAMC13（第26题图）2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073455、（2009年浙江省湖州市）已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，，，；(2)如图，将NAC△沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMN备用图（第24题）2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073456、（2009年河池市）如图12，已知抛物线243yxx交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．ODBCAxyE图122数学教室*李雄老师（版权所有）137138073457、（江苏省2009年）如图，已知二次函数221yxx的图象的顶点为A．二次函数2yaxbx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数221yxx的图象的对称轴上．（1）求点A与点C的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数2yaxbx的关系式．xyO12321112221yxxA2数学教室*李雄老师（版权所有）137138073458、（2009年柳州）如图11，已知抛物线baxaxy22（0a）与x轴的一个交点为(10)B，，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；（2）以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的解析式；②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以EFAB，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．OxyABCD图11