中考反比例函数复习

课时课题：中考复习——反比例函数课型：复习课授课教师：枣庄十五中西校区鹿蓓中考知识点:1.反比例函数意义;2.反比例函数反比例函数图象;3.反比例函数性质;4.待定系数法确定函数解析式.中考课标要求考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用反比例函数理解反比例函数意义∨会画反比例函数的图象∨理解反比例函数的性质∨能根据实际问题中的反比例关系用待定系数法确定反比例函数的解析式∨∨课前准备：课件教学过程:第一环节：【要点梳理】-导入新课1．概念：函数______________叫做反比例函数．2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线．3．性质：(1)当k0时，其图象位于____________，在每个象限内，y随x的增大而________；(2)当k0时，其图象位于____________，在每个象限内，y随x的增大而________；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．要点梳理要点梳理要点梳理要点梳理4．应用：如图，点A和点C是反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上任意两点，画AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，则有S△AOB＝S△COD＝|k|2.【重点评析强调】1.反比例函数的概念反比例函数y=kx中的kx是一个分式,自变量x≠0,函数与x轴、y轴无交点,y=kx也可写成y=kx-1(k≠0),注意自变量x的指数为-1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件.2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.3.反比例函数y=kx中k的意义注意:反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.4.反比例函数经常与一次函数、二次函数等知识相联系.【设计意图】反比例函数的知识点不太多，但是有关函数解析式及图象中有许多特殊性。因此教学时在课件展示后应该重点强化加深学生的记忆。第二环节：【例题典析】-巩固训练一、反比例函数的图象例1（2012菏泽）已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，那么一次函数ybxc和反比例函ayx在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A．B．C．D．【解析】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数ayx位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选C．【点评】本题是对二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象的综合考查，具有一定的代表性及难度。例2（2012•广州）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．【解析】解：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．故选D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．例3（2012•兰州）在反比例函数的图象上有两点(－1，y1)，，则y1－y2的值是()A．负数B．非正数C．正数D．不能确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】反比例函数：当k＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．【解析】解：∵反比例函数中的k＜0，∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；又∵点(－1，y1)和均位于第二象限，－1＜－，∴y1＜y2，∴y1－y2＜0，即y1－y2的值是负数，故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内。二、反比例函数中k值的确定及其几何意义的应用例4（2012福州）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B两点，若反比例函数y＝kx(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤8【考点】反比例函数综合题．【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝－x＋6，设交点为(x，－x＋6)时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．【解析】解：∵点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，∴当x＝1时，y＝－1＋6＝5，当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，∴点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∵1≤x≤4，∴当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)，因此，k的取值范围是2≤k≤9．故选A．【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．例5（2012•德州）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（）A．3B．4C．D．5【考点】反比例函数综合题；三角形的面积；中k的几何意义的应用。【分析】设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．【解析】解：∵点P在y=上，∴设P的坐标是（a，），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=﹣上，∴A的坐标是（a，﹣），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，ABCOxy∵B在y=﹣上，∴代入解得：x=﹣2a，∴B的坐标是（﹣2a，），∴PA=﹣（﹣）=，，PB=a﹣（﹣2a）=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB=××3a=．故选C．【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性。例6（2012•兰州）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．【解析】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2．∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义。三、待定系数法确定函数解析式例7（2012娄底）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=D．y=【考点】待定系数法求反比例函数解析式。【分析】设解析式为，由于反比例函数的图象经过点（﹣1，2），代入反比例函数即可求得k的值．【解析】解：设反比例函数图象设解析式为，将点（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2，则函数解析式为y=﹣．故选B．【点评】本题考查了反比例函数的概念及待定系数法确定函数解析式。将点（﹣1，2）代入反比例函数，求出系数k是解题的关键。四、反比例函数的应用例8．（2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由。【分析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N1，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置．【解析】解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．…（1分）∵tan∠AHO=2，∴OH=1．…（2分）∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1．∵点M在直线y=2x+2上，∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．…（3分）∵点M在y=上，∴k=1×4=4．…（4分）（2）存在．∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，∴a=4．即点N的坐标为（4，1）．…（5分）过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．…（6分）∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），∴N1的坐标为（4，﹣1）．…（7分）设直线MN1的解析式为y=kx+b．由解得k=﹣，b=．…（9分）∴直线MN1的解析式为．令y=0，得x=．∴P点坐标为（，0）．…（10分）【点评】此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及到了线路的最短问题，难度中等。【设计意图】选择了一道综合题目的在于目的在于将前一节的一次函数与反比例函数对应起来复习一遍。并且向学生展示了这道中考题的评分标准让学生更加形象客观的对比自己的做题格式进行批改从而理解解答过程中做题规范的重要性。第三环节：【习题训练】-测试评价1、（2012山东德州3分）如图，两个反比例函数1y=x和2y=x的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【】A．3B．4C．92D．52、（2012山东青岛3分）点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数3y=x的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是【】A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y33、（2012山东济宁3分）如图，是反比例函数k2y=x的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）4、（2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数kyx（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．5、（2012山东济南9分）如图，已知双曲线kyx，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．6、（2012山东枣庄10分）如图，在平面直角坐标xOy中，一次函数ykxbk0的图象与反比例函数错误!未找到引用源。的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=错误!未找到引用源。．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积．板书设计：考点三反比例函数一、反比例函数的知识要点