中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题_(_含答案)[1]

•1、二次函数的定义•2、二次函数的图像及性质•3、求解析式的三种方法•4、a，b，c及相关符号的确定•5、抛物线的平移•6、二次函数与一元二次方程的关系•7、二次函数的应用题•8、二次函数的综合运用1、二次函数的定义定义：y=ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）定义要点：①a≠0②最高次数为2③代数式一定是整式练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？2、二次函数的图像及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a0,开口向上a0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0xy0mm2例2：已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，y0？x为何值时，y0？3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x4、a，b，c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.23212xxy（3）b的符号：由对称轴的位置确定（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。当x=1时，y0,则a+b+c0当x=1时，y0，则a+b+c0当x=1时，y=0，则a+b+c=0(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。当x=-1，y0,则a-b+c0当x=-1，y0,则a-b+c0当x=-1，y=0,则a-b+c=0练习１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,b0,c0B、a0,b0,c0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c02、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,b0,c=0B、a0,b0,c=0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c=03、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c、△的符号为（）A、a0,b=0,c0,△0B、a0,b0,c0,△=0C、a0,b=0,c0,△0D、a0,b=0,c0,△0熟练掌握a，b，c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：a0,b0,c0.5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足的条件是：a0,b0,c0.6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c0，那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。5、抛物线的平移左加右减，上加下减练习⑴二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)2的图象。⑵二次函数y=2x2的图象先向平移个单位，再向平移个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+66二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:41)25(2xy=x241)25(2xy有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb.2422,1aacbbx:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22,1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb(1)有两个交点b2–4ac0(2)有一个交点b2–4ac=0(3)没有交点b2–4ac0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0例(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(2)已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根b2-4ac＞0与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac=0与x轴有唯一个交点有两个相等的解x1=x2=b2-4ac＜0与x轴没有交点没有实数根7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.)0,2(abxyOxyOxyOab22.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2)新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1．直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的范围是………………（）（A）k＜31（B）31＜k＜1（C）k＞1（D）k＞1或k＜1【提示】由kxyxy13，解得.23121kykx因点在第四象限，故21k＞0，231k＜0．∴31＜k＜1．【答案】B．【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………（）（1）abc＜0；（2）a＋b＋c＜0；（3）a＋c＞b；（4）a＜－2b．（A）1（B）2（C）3（D）4【提示】由图象知a＜0，－ab2＞0，故b＞0，而c＞0，则abc＜0．当x＝1时，y＞0，即a＋c－b＞0；当x＝－1时，y＜0，即a＋c－b＜0．【答案】B．【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a＜0，把（4）a＜－2b两边同除以a，得1＞－ab2，即－ab2＜1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x＝1的左侧，判断出－ab2＜1，两边同时乘a，得a＜－2b，知（4）是正确的．3．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经过…………………………………………………………………………………（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【提示】由＝4＋4m＜0，得m＋1＜0，则m－1＜0，直线过第二、三、四象限．【答案】A．【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限．4．如图，已知A，B是反比例函数y＝x2的图象上两点，设矩形APOQ与矩形MONB的面积为S1，S2，则………………………………………………………………（）（A）S1＝S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】因为SAPOQ＝|k|＝2，SMONB＝2，故S1＝S2．【答案】A．【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|．5．若点A（1，y1），B（2，y2），C（，y3）在反比例函数y＝－xk12＋的图象上，则（）（A）y1＝y2＝y3（B）y1＜y2＜y3（C）y1＞y2＞y3（D）y1＞y3＞y2【提示】因－（k2＋1）＜0，且－（k2＋1）＝y1＝2y2＝y3，故y1＜y2＜y3．或用图象法求解，因－（k2＋1）＜0，且x都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y轴负半轴上y1，y2，y3的相应位置即可判定．【答案】B．【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－（k2＋1）＜0．6．直线y＝ax＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系内大致的图象是……（）（A）（B）（C）（D）【提示】两个解析式的常数项都为c，表明图象交于y轴上的同一点，排除（A），（B）．再从a的大小去判断．【答案】D．【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．（B）错误的原因是由抛物线开口向上，知a＞0，此时直线必过第一、三象限．7．已知函数y＝x2－1840x＋1997与x轴的交点是（m，0）（n，0），则（m2－1841m＋1997）（n2－1841n＋1997）的值是……………………………………………（）（A）1997（