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1定值问题引例：如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N.（1）当A点第一次落在直线y＝x上时，求A、B两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.Ⅰ．专题精讲：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．求定值是几何题中颇有难度的一类问题，由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．Ⅱ．典型例题剖析:①形成图形寻“定”等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点P为BC上一动点，过P作PE∥AC交AB于E，过P作PF∥AB交AC于F，则PE＋PF是一个定值吗？若点P在BC的延长线上又如何？②解题方法寻“定”等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，P为BC上一动点，过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则PE＋PF还是定值吗？若是，那么是多少？若点P在BC的延长线上又如何？MNBy=xyxOCA2变式1．☆已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，对角线AC、BD交于O，过AB上任意的一点E作EM⊥AO，EN⊥BO，垂足分别是M和N，求EM＋EN的值．变式2．已知P为边长为a的等边△ABC内．任意一动点，P到三边的距离分别为h1，h2，h3，则P到三边的距离之和是否为定值？若点P为△ABC形外一点又如何？③已知条件寻“定”如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第一象限内作等边△AOB，点C在x的正半轴上，且OC＞1，连接BC，以线段BC为边在第一象限内作等边△CBD．当点C沿x轴向右移动时，直线DA交y轴于点P，求点P坐标．变式1．如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A，B重合），连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为．④基本图形寻“定”1．如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC的面积为16．（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；3（2）点P（m，163）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；（3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结论：①QM+OM的值不变；②QMOM的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．2．如图，已知动点P在函数y＝12x（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝－x＋1交于点E，F，则AF•BE的值为．变式：点P是反比例函数y＝12x在第一象限内的图像上一点，其横坐标x0满足0＜x0＜1．过点P作两个坐标轴的垂线PM、PN，PM、PN分别交一次函数y＝1－x的图像于点E、F．试求∠EOF(O为原点)．43．如图，一次函数y＝ax＋b与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝kx相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论．⑤旋转变化寻“定”1．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．2．把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD（如下图）．有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．（1）将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（如图1），通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）在旋转过程中四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；（3）若将（1）中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A、C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图3），那么PE、PF之间又有什么数量关系？并证明你的结论．5变式1：如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG＝．请予证明．变式2：△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角．（1）如图1，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD与线段EC的关系；（2）若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理由；（3）若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形，且∠ACB＝α，∠BDE＝β，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．6变式3：如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．⑥对称图形寻“定”设AB为⊙O的直径，动弦CD与AB成45角，与AB交于点P点．则PC2+PD2的值．变式：如图，在直角坐标系中，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB＝8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y＝x＋m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E，过点E作EG垂直于y轴，垂足为G，过点C作CF垂直于y轴，垂足为F，连接DE．（1）点P在运动过程中，sin∠CPB=；（2）当m＝3时，试求矩形CEGF的面积；图1图2图3图4图5图67（3）当P在运动过程中，探索PD2＋PC2的值是否会发生变化？如果发生变化，请你说明理由；如果不发生变化，请你求出这个不变的值；（4）如果点P在射线AB上运动，当△PDE的面积为4时，请你求出CD的长度．⑦速度之比寻“定”已知A(1，0)，B(0，－3)，点P从A出发，以1单位每秒的速度向左侧移动，点Q从B出发，以3单位每秒的速度沿y轴负半轴方向移动，AB与PQ相交于点D，以P为圆心，AP长为半径的圆交AB于点E，求DE的长．