中考按章复习讲义第三章一元一次方程

中考按章复习讲义第三章一元一次方程本章小结小结1本章内容概览本章的主要内容包括：一元一次方程及其相关的概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题．其课标要求是：了解一元一次方程及其相关的概念和性质，掌握一元一次方程的解法和一般步骤，初步认识方程与现实生活的联系，建立列方程解决实际问题的数学模型，感受方程的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．小结2本章重点、难点：本章重点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题．难点是根据具体问题中的数量关系列一元一次方程．小结3本章学法点津1．学好本章的关键在于正确理解方程及方程的解的概念和等式的两个性质，了解算术和代数的主导思想的区别及找准问题中的等量关系．2．在学习本章时，要深刻理解方程的思想，即未知量可以和已知量一起表示数量关系，找到数量之间的等量关系就可列方程，即建立数学模型．“建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”是本章渗透的主要数学思想．另外，要加强练习，巩固好基础知识和基本技能．因为一元一次方程是最基本的代数方程，学好它对于后续学习(其他的方程以及不等式、函数等)具有重要的作用．知识网络结构图重点题型总结及应用题型一灵活解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算．例1解方程：1121(1)3232xxx．分析：此题中括号外的系数是分数，小括号外的系数也是分数，这种类型的方程解法比较灵活，可以先去括号，再去分母；也可以先去分母，再去括号．解法1：去中括号，得112113632xxx．去小括号，得1112136633xxx．去分母，得2x－x＋1=4x－2．移项，得2x－x－4x＝－2－1．合并同类项，得－3x＝－3．系数化为1，得x＝1．解法2：方程两边同乘6，得112(1)422xxx．去中括号，得2x－(x－1)=4(x－12)．去小括号，得2x－x＋1=4x－2．移项，得2x－x－4x=－2－1．合并同类项，得－3x＝－3．系数化为1，得x＝1．点拨若方程中合有多层括号，则应按照分配律先由内向外(或由外向内)去括号，再去分母，但也有时先去分母，再去括号会更简便，这取决于所给方程的特点，因此解方程时，应灵活地选取方法，尽量使过程简单，而又不产生错误.例2解方程：21101136xx．分析：本题按照常规的解方程的步骤，应先去分母，但考虑本题特点，可把213x拆成2133x，把1016x拆成10166x来解．解：原方程可写成2133x10166x=1.约分，移项，得25111.3336xx合并同类项，得－x＝56.系数化为1，得x＝－56.评注本题采用的是“拆项法”，此方法比常规方法简便，但这种方法不是对所有的一元一次方程都适用，需要根据方程的特点灵活应用．题型二方程的解的应用例3关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是()A．10B．－8C．－10D．8解析：解方程2x－4=3m，得x=342m．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由两方程解相同，得342m＝m－2，解得m＝－8．答案：B例4已知y＝3是6＋14(m－y)＝2y的解，那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少?分析：把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值．解：y＝3代入方程6＋14(m－y)＝2y，得6＋14(m－3)＝6．解得m＝3．将m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)，得2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝53.方法先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力．题型三一元一次方程的应用例5一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．分析：如果设规定时间为x小时，当每小时走60千米时，则路程为601260x千米；当每小时走50千米时，则路程为50760x千米．这时可用路程相等列出方程．解：设规定时间为x小时，根据题意，得601260x=50760x．解得10760x．所以路程为61260x=60×107126060＝95千米．答：路程为95千米．例6某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?分析：(1)问分别用含x的式子表示y甲、y乙.(2)问是当y甲=y乙时求x.解：(1)因为全票价为240元，所以半票价为120元，这样甲旅行社收费为y甲＝120x＋240．又因为全票价为240元，所以全票价的60％为240×60100=144(元)，这样乙旅行社收费为y乙＝144x＋144．(2)因为甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x＋240＝144x＋144．解这个方程，得x＝4．答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样．例7某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?分析：假设每台彩电原价是x元，则提高40％后为(1＋40％)x元，八折为(1＋40％)x·80％元，也就是现售价为(1＋40％)x·80％元．解：设每台彩电原价是x元，根据售价与原价之差等于270，列方程得x(1＋40％)·80％－x＝270，解得x＝2250．答：每台彩电原价是2250元．例8某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是5千米／时(上、下车时间忽略不计)．(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．分析：本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论．解：(1)1560×3=34(时)=45(分)．因为45＞42，所以不能在限定时间内到达考场．(2)方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为1560＝14(时)＝15(分)．14时另外4人步行了1．25千米，此时他们与考场的距离为15－1．25＝13．75(千米)．设汽车返回t(时)后与步行的4人相遇，则有5t＋60t=13．75，解得t=2.7513．汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.7513小时．所以用这一方案送这8人到考场共需15＋2×2.7513×60≈40．4(分)＜42(分)．所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到．题型四图表类应用题例9(1)七年级(1)班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有x人挑土，填写下表：挑土抬土人数／人扁担／根即可知两个等量关系：挑土人数＋抬土人数＝43人，挑土用扁担数＋抬土用扁担数＝30根．根据等量关系，列方程，解得x＝，因此挑土人数为，抬土人数为．你能用其他方法计算这道题吗?(2)如果参加劳动的人数不变，扁担数为20根可以吗?为什么?分析：有x人挑土，则用扁担x根，剩余的(43－x)人抬土，需用扁担数为12(43－x)根，可列方程为x＋12(43－x)＝30，解得x＝17，即有挑土人数为17，抬土人数为43－17=26．还可以利用“挑土人数＋抬土人数＝43人”列方程．解：(1)列表如下：挑土抬土人数／人x43－x扁担／根x12(43－x)x＋12(43－x)=30；17；17；26．能．设挑土用x根扁担，则抬土用(30－x)根扁担，挑土用x人，抬土用2(30－x)人．根据题意，得x＋2(30－x)＝43．解得x=17．因此，挑土人数为17，抬土人数为2(30－17)＝26．(2)不可以，因为若20根扁担用于挑土，则需20人＜43人；若20根扁担用于抬土，则需40人＜43人，因此，人员有剩余．所以参加劳动的人数不变，扁担数为20根不可以．点拨此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程．由生活常识可知，挑土1人用l根扁担，抬土2人用l根扁担．例10下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价．甲商场商品进货单电脑供货单位乙单位品名P4200商品代码DN—63DT商品所属电脑专柜标价5850元折扣八折利润210元分析：本题应先读懂图表所提供的信息，明确题目的条件和所求，此题等量关系为：售价－进价=利润．解：设这台电脑的进价为x元．根据题意，得5850×0．8－x＝210．解得x＝4470．答：这台电脑的进价为4470元．注意商品打八折后的售价等于标价×0．8．思想方法归纳方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值．主要解题思想方法如下：1．转化思想本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等．例1已知方程3x2－9x＋m＝0的一个解是1，则m的值为．分析：根据方程解的定义，把方程的解x＝1代入方程成立，然后解关于m的方程即可．解：把x=1代入原方程，得3×12－9×1＋m＝0，解得m=6．答案：6方法解题依据是方程的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程．例2如果4x2＋3x－5＝kx2－20x＋20k是关于x的一元一次方程，那么k=，方程的解是．解析：要判断一个方程是不是一元一次方程，首先应先化为最简形式，原方程化为一般形式得(4－k)x2＋23x－5－20k＝0．由一元一次方程的定义知4－x＝0，解得k＝4．把k＝4代入方程得23x－85＝0，解得x＝8523．答案：4；x＝8523技巧判断一个方程是不是一元一次方程，应先化为最简形式，再根据一元一次方程的定义来判断．2．方程思想本部分内容方程思想的体现主要是列方程解决实际问题．解决问题的关键是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案．例3某中学甲、乙两班学生在开学时共有90人，如果从甲班转入乙班4人，结果甲班的学生人数是乙班的80％，问开学时两班各有学生多少人?解：设开学时甲班有x人，则乙班有(90－x)人，根据题意，得x－4=(90－x＋4)×80％，5x－20＝360－4x＋16，即x＝44，90－x＝46．答：开学时甲班有44人，乙班有46人．点拨调配问题是：一方增多，另一方要减少，注意变化前后的关系是列方程的关键．例4如图3－5－1所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积为()A．1280cm3B．2560cm3C．3200cm3D．4000cm3解析：设甲容器的高度为xcm，则乙容器中水的高度为(x－8)cm．根据两容器中水的体积不变可得80x=100(x－8)．解得x＝40．所以甲容器的容积为80×40＝32