中考数学《与圆有关的计算与证明》

1《与圆有关的计算与证明》胡清山一、近四年莆田中考试卷中有关圆的试题及复习策略（一）近四年莆田中考试卷中有关圆的试题1、2010年莆田中考试卷中有关圆的试题第5题．（2010•莆田）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和5cm，若O1O2=1cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．内含考点分析：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．第12题．（2010•莆田）若用半径为20cm，圆心角为240°的扇形铁皮，卷成一个圆锥容器的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥容器的底面半径是cm．考点分析：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．第21题．（2010•莆田）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧的中点．（1）求证：四边形AOBD是菱形；（2）延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是的⊙O切线．考点分析：此题考查了切线的判定、菱形的判定等知识点，难度中等．2、2011年莆田中考试卷中有关圆的试题第11题．（2011•莆田）⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若⊙O1和⊙O2相外切，则圆心距O1O2=cm．考点分析：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．第21题．（2011•莆田）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当AD=，∠CAD=30°时．求的长．2考点分析：本题综合考查切线的判定与性质．弧长的计算以及解直角三角形．3、2012年莆田中考试卷中有关圆的试题第14题．（4分）（2012•莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为．考点分析：本题考查弧长计算公式第22题．（10分）（2012•莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．考点分析：本题考查了切线的判定、圆周角定理．（要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．）4、2013年莆田中考试卷中有关圆的试题第7题．（4分）（2013•莆田）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°考点分析：本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键．第21题．（8分）（2013•莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．3考点分析：本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、平行四边形的性质以及扇形面积的计算．（二、）命题预测：根据近四年莆田市有关圆的中考试题特点，我们预测2014年中考有关圆的试题在选择题和填空题部分将出现一至两题，继续考查垂径定理、圆周角定理、圆的切线长定理、圆与圆的位置关系以及弧长、扇形面积计算以及圆锥的侧面积和全面积的计算，其中圆与圆的五种位置关系以及弧长计算公式、扇形面积计算公式以及圆锥的侧面积和全面积的计算公式仍是是考查的重点，这部分的试题仍然是基础题，但近几年中考结果表明，有关圆的选择、填空题，得分率并不高，所以在复习时要抓实抓好。另外，在第21或22题将以圆的垂径定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理、圆的切线长定理以及为弧长计算公式以及扇形面积计算公式为基础，结合三角形相似（全等）。三角函数、勾股定理进行圆的有关计算和证明，一般设置2小题或3小题，其中直线和圆的相切与相似三角形、全等三角形、三角函数的小综合题仍然是考查的重点。其中第2小题和第3小题将以中档题形式出现，如果这一题完成的不好，将直接影响学生的考试心态。所以在复习过程中我们应该注意对这类题的训练，力求做到训练到位！（三）复习指导1、“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（2a）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．42、证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”3、面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积三、迎考精炼〈一、〉选择题1．如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A）2厘米（B）22厘米（C）4厘米（D）8厘米2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（）（A）54（B）45（C）43（D）653．弧长为6π的弧所对的圆心角为60，则弧所在的圆的半径为（）（A）6（B）62（C）12（D）184．如图，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）（A）1（B）2（C）1+4（D）2－45．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（）（A）18π（B）9π（C）6π（D）3π6．如图，正六边形ABCDEF的边长的上a，分别以C、F为圆心，a为半径画弧，5则图中阴影部分的面积是（）（A）261a（B）231a（C）232a（D）234a7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM的长为（）（A）3厘米（B）5厘米（C）2厘米（D）5厘米8．已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是（）（A）12π（B）15π（C）30π（D）24π9．如图，正六边形ABCDEF中．阴影部分面积为123平方厘米，则此正六边形的边长为（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米10．已知扇形的弧长是2π厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是（）（A）60（B）45（C）30（D）20〈二、〉填空题1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知∠BAC＝80，那么∠BDC＝__________度．2．在Rt△ABC中，∠C＝90，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是__________．3．两个点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为___________．4．如图，圆内接正六边形ABCDEF中，AC、BF交于点M．则ABMS△∶AFMS△＝_________．65．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D．已知∠APB＝60，AC＝2，那么CD的长为________．〈三、〉解答题1、如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．BD＝3，求BC的长．2、如图所示，AB是O⊙直径，OD⊥弦BC于点F，且交O⊙于点E，若AECODB．（1）判断直线BD和O⊙的位置关系，并给出证明；（2）当108ABBC，时，求BD的长．3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.7FOEDCBA（第6题）图）（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=21AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.4．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）5．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，8联结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．7.如图所示，在⊙O中，CADA，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．每天两题开心一练(33)9EFQOxy命题者胡清山1．（1）已知，如图1，△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：r＝ls2；（2）已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-3，O）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC内心为D．求点D坐标；（3）（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标．2．（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点，10图1DMCBAOxyEFQOxy（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0,3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。、（变式训练）点Q为y轴正半轴上一点，过Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问是否存在一点Q，使△OEF的外心在EF上，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由1．证明：连接0A、OB、OC，设AB、CA，BC的三边分别为a、b、c，则：S=S△OAC+S△OBC+S△OAB（1分）=21br+21ar+21cr11=21(a+b+c)