中考数学一轮复习【几何篇】15相似三角形(一)

15.相似三角形（一）按住ctrl键点击查看更多中考数学资源知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题：【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，过O作AO的垂线交AB于D。求证：△OBD∽△CBO。分析：此题不易得到边的比例关系，但O点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO＝900，再由AO⊥DO可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。例1图54321ODCBA变式1图OEDCBA例2图FEDCBA变式1：已知如图，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，交AC于E，BO平分∠ABC。求证：BCBDBO2。变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC中，O为两内角平分线的交点，过点O作直线交AB于D，交AC于E，且AD＝AE。求证：（1）△BDO∽△OEC；（2）CEBDDO2。【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：AB∶AC＝BF∶DF。分析：由于△ABC和△FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B∴ADBDACAB………①又∵AD⊥BC，E为AC中点∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE∴∠B＝∠ADE又∵∠F＝∠F∴△FAD∽△FDB∴DFBFADBD………②由①②得DFBFACAB变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？例2变式图1FEDCBA例2变式图2FEDCBA例3图GFEDCBA【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于F。求证：FAFGFC2。分析：由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线，于是连结FD得FD＝FC，再证△FDG∽△FAD即可。探索与创新：【问题一】如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝6，AD＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？略解：∵AC＝6，AD＝2∴CD＝222ADAC要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有ACABADAC∴32ADACAB（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有ACABCDAC∴232CDACAB故当AB的长为3或23时，这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，问题一图DCBA若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。略解：假设存在满足条件的实数k，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：CPDPQCAD或CQDPPCAD由此解得：CQ＝1或CQ＝41，从而0k或43k故当0k或43k时，△ADP与△QCP。跟踪训练：一、填空题：1、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是。2、在直角坐标系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过C点作直线l交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线有条。3、如图，在△ABC中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝。第1题图PCBA第3题图NMCBA第5题图EDCBA4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有种。5、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝5∶1，则CD＝。二、选择题：1、下面两个三角形一定相似的是（）A、两个等腰三角形B、两个直角三角形C、两个钝角三角形D、两个等边三角形2、如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，EA分别交CD、BD的延长线于点F、G，则图中相似三角形共有（）A、3对B、4对C、5对D、6对三、解答题：1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。问题二图QPDCBA选择第2题图FGEDCBA解答第1题图FECBA解答第2题图DFECBA2、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC于E，交AB于F。求证：△AFD∽△ADB。3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请你在AD上找一点P，使得以P、A、B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P点有几个？并求出AP的长；若不能，请说明理由。解答第3题图PDCBA解答第4题图EDCBA4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。跟踪训练参考答案一、填空题：1、∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或ABAPAC2；2、4条；3、3，5；4、2种；5、6二、选择题：DD三、解答题：1、设AB＝BE＝EF＝FC＝a，∵∠B＝900，∴AE＝a2∵22aaEFAE，222aaAEEC∴AEECEFAE且∠AEF＝∠CEA∴△AEF∽△CEA2、证△AED∽△ADC，△FAE∽△CAB，△FAD∽△DAB3、能，有三个，AP＝4.5或2141154、△ABC∽△ADE，还有△ABD∽△ACE。