中考数学函数类应用题解题策略

中考数学函数类应用题解题策略从近几年各地的数学中考试卷来看，我们发现函数类（尤其是一次函数）应用题所占的比例相当大，函数类应用题，已成为各地中考命题的热点。这类问题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息,然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式解决问题。下面笔者试从以下几个方面谈一下中考函数应用题的命题特点，与各位同仁共同来探讨：1．日常生活类主要指与人们生活密切相关的问题（如储蓄、股票、电信、水电、保险、煤气开放、纳税等）例1．（07南京市）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m时，按2元／3m计费；月用水量超过203m时，其中的203m仍按2元／3m收费，超过部分按2.6元／3m计费．设每户家庭用用水量为3mx时，应交水费y元．（1）分别求出020x≤≤和20x时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？解：（1）当020x≤≤时，y与x的函数表达式是2yx；当20x时，y与x的函数表达式是2202.6(20)yx，即2.612yx；（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，所以把30y代入2yx中，得15x；把34y代入2yx中，得17x；把42.6y代入2.612yx中，得21x．所以15172153．答：小明家这个季度共用水253m．例2．（07聊城市）2005年10月27日全国人大通过《关于修改〈中华人民共和国个人所得税〉的决定》，征收个人所得税的起点从800元提高到1600元，也就是说，原来月收入超过800元的部分为全月应纳税所得额，从2006年1月1日起，月收入超过1600元的部分为全月应纳税所得额．税法修改前后全月应纳税所得额的划分及相应的税率相同，见下表：全月应纳税所得额税率（%）不超过500元的部分5超过500至2000元的部分10超过2000至5000元的部分15某人2005年12月依法交纳本月个人所得税115元，假如本月按新税法计算，此人应少纳税80元．点拨：以上两个题目都是与我们日常生活密切联系的，也是近几年中考题中经常出现的分段函数应用题，由于中考具有一定的选拔功能，时常会出现一些与高中知识的衔接点作为立意的中考题，这种知识点的衔接，主要是一种“渗透”，而非纯高中知识的应用，它限定于初中生所能接受的范围之内，体现出数学知识之间的变通性和统一性，借以考查学生思维的灵活性、综合性和深刻性、创造性。2．经济决策类经济决策类应用问题是运用数学知识对已知的信息进行分析处理，从而作出合理的判断和科学决策的一类问题．例3．（07孝感市）我市一水果销售公司，需将一批孝感杨店产鲜桃运往某地，有汽车、火车运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中平均速度（单位：千米/时）途中平均费用（单位：元/千米）装卸时间（单位：小时）装卸费用（单位：元）汽车75821000火车100642000若这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为150元/时，那么你认为采用哪种运输工具比较好（即运输所需费用与损耗之和较少）？解：设运输路程为x(x0)千米，用汽车运输所需总费用为y1元，用火车运输所需总费用为y2元.y1=(75x+2)×150+8x+1000∴y1=10x+1300y2=(100x+4)×150+6x+2000∴y2=7.5x+2600（1）当y1y2时，即10x+13007.5x+2600∴x520；（2）当y1=y2时，即10x+1300=7.5x+2600∴x=520；（3）当y1y2时，即10x+13007.5x+2600∴x520.∴当两地路程大于520千米时，采用火车运输较好；当两地路程等于520千米时，两种运输工具一样；当两地路程小于520千米时，采用汽车运输较好。点拨：这是一题以表格形式提供信息的函数应用题，根据题意，抓住运输所需总费用等于运输所需费用与损耗之和列出一次函数，然后利用不等式的知识来解决问题。这类题目在近年的中考数学应用题中出现得最多，它不同于单纯的一次函数，其自变量的取值范围往往有较多的限制条件。同时，在运用一次函数的性质解决问题时，还往往涉及到分类思想。这是近年中考数学应用题的新热点。3．市场营销类这类问题是指在市场营销活动中关于产品成本、价格、利润、销售盈亏活动合理组织安排等方面的分析计算问题．例4．（07贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）903(50)yx化简得：3240yx（2）2(40)(3240)33609600wxxxx（3）233609600wxx0a，抛物线开口向下．当602bxa时，w有最大值又60x，w随x的增大而增大当55x元时，w的最大值为1125元当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．点拨：通过分析题中的数量关系直接得出函数解析式，再进行应用，这种数量关系型的函数应用题在近几年的中考试卷中也经常出现。.4．学科渗透类这类问题是指在数学问题中渗透了其他学科的知识，利用数学知识来解决问题。例5．（07盐城市）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况。实验数据记录如下：x（cm）…1015202530…y（N）…3020151210…（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？解：（1）画图略由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数∴设0kxky把3010yx，代入得：300k∴xy300将其余各点代入验证均适合∴y与x之间的函数关系式为：xy300（2）把24x代入xy300得5.12x∴当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是12.5cm随着弹簧秤与O点的距离不断减少，弹簧秤上的示数不断增大。y(N)x(cm)O51015202530353530252015105O25CBADx(时)y(千米)点拨：这是一题探究杠杆平衡条件的实验题，很好地进行了学科之间的渗透，试题还考查了学生的动手操作、猜测、验证等能力，是近几年中考函数类应用题的又一亮点。以上几个例题都是各地的中考试题，解决这些问题，涉及到的知识有一次函数（包括正比例函数），二次函数，反比例函数。但我们也应该清醒认识，并非所有这类问题都必需用函数知识去解决，有时也可以用方程、不等式或列算式来解，或许会更简单。如：例6．（07大连市）星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。（1）小强家与游玩地的距离是多少？（2）妈妈出发多长时间与小强相遇？解：（1）15×2=30（千米）（2）方法一：（利用函数方法）由于小强从家出发2小时到达目的地，所以按原路以原速返回也需要2小时，所以直线BD经过点（7，0），又B（5，30），这样可求出直线BD的解析式是10515xy，因妈妈驾车的速度为60千米/时，所以到5时妈妈行使了20千米，故直线CD经过点（5，20），又C（0314，）可求得直线CD的解析式是28060xy，然后求得直线BD与直线CD的交点D（281577，），1573151577（小时），所以妈妈出发157小时与小强相遇。（2）方法二：（利用列算式）316015316030=157（小时）点拨：有些函数问题其实不需要用函数知识去解，关键我们在解函数应用题时，能否能从所提供的函数图象中去获取我们所需要的一些有用信息，如上题的第（2）小题用列算式更简单。函数知识几乎涉及到现实生活的方方面面，从各地的中考试题来看，能利用鲜活的实际背景命题，体现了数学知识的实用性，有利于考查和培养学生“用数学”的意识。同时近几年的中考应用题比较重视对学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等能力的考查。随着中考命题改革的不断深化，它会呈现出更加多姿多彩的特点，适应素质教育和时代发展的要求。