中考数学图形的相似与位似解答题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----中考数学图形的相似与位似解答题（1）1.（2014•上海，第23题12分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）联结AE，交BD于点G，求证：=．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．分析：（1）证△△BAD≌≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案．解答：证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠CDE=∠ABD，∴∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵AD∥BC，∴=，=，∴=，∵平行四边形ACED，AD=CE，∴=，∴=，∴=，∴=．点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．2.（2014•四川巴中，第24题7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：=1：4（不写解答过程，直接写出结果）．考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----分析：（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．解答：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1：2，∴：=1：4．故答案为：1：4．点评：此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键．3.（2014•四川巴中，第29题10分）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．考点：相似三角形的判定，切线的性质．分析：（1）根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90°，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△BGD∽△DMA；（2）连结OD．由三角形中位线的性质得出OD∥AC，根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥BG，由平行公理推论得到OD∥BG，再由BG⊥MN，可得OD⊥MN，然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是⊙O的切线．解答：证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----∴∠BGD=∠DMA=90°．∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，∴∠ADM+∠CDM=90°，∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，∴∠DBG=∠ADM．在△BGD与△DMA中，，∴△BGD∽△DMA；（2）连结OD．∵BO=OA，BD=DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，BG⊥MN，∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN，∴直线MN是⊙O的切线．点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．4.（2014•山东潍坊，第22题12分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．(1)求证：AE⊥BF；(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由BE=CF，即可证得△ABE≌△BCF,可得∠BAE=∠CBF，由∠ABF+∠CBF=900可得∠ABF+∠BAE=900，即AE⊥BF；（2）由△BCF≌△BPF,可得CF=PF,BC=BP,∠BFE=∠BFP，由CD∥AB得∠BFC=∠ABF,从而QB=QF，设-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----PF为x,则BP为2x,在Rt△QBF中可求QB为x，即可求得答案；（3）由可求出△AGN的面积，进一步可求出四边形GHMN的面积．解答：(1)证明：∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，∴CF=BE，∴Rt△ABE≌Rt△BCF∴∠BAE=∠CBF又∵∠BAE+∠BEA=900，∴∠CBF+∠BEA=900，∴∠BGE=900，∴AE⊥BF(2)根据题意得：FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=900，∵CD∥AB,∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB令PF=k（kO），则PB=2k，在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=(x－k)2+4k2,∴x=k，∴sin∠BQP=(3)由题意得：∠BAE=∠EAM,又AE⊥BF,∴AN=AB=2,∵∠AHM=900,∴GN//HM,∴∴∴四边形GHMN=SΔAHM－SΔAGN=1一=答：四边形GHMN的面积是.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5.（2014•山东烟台，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα•tan=．252)(AMANAHMAGN2554252kkQPBP2)(AMANAHMAGN54)52(12AGN545454-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．6.（(2014年河南)20.9分）如图，在直角梯形OABC中，BC//AO，∠AOC=900，点A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D为AB上一点，且BD=2AD.双曲线y=（x＞0）经过点D,交BC于点E.（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积。解：（1）过点B、D作x轴的的垂线，垂足分别为点M、N.∵A(5.0)、B（2，6），∴OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3．∵DN∥BM,∴△AND∽△ABM.∴∴DN=2,AN=1,∴ON=4∴点D的坐标为(4,2)．…………………………3分又∵双曲线y=(x＞0)经过点D，∴k=2×4=8∴双曲线的解析式为y=．………………………5分（2）∵点E在BC上，∴点E的纵坐标为6.又∵点E在双曲线y=上，kx13DNANADBMAMABkx8x8xDEOBACxyMN-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----∴点E的坐标为(,6),∴CE=………………………7分∴S四边形ODBE=S梯形OABC－S△OCE－S△AOD=×(BC+OA)×OC－×OC×CE－×OA×DN=×(2+5)×6－×6×－×5×2=12∴四边形ODBE的面积为12.………………………………9分7.（2014•江苏盐城,第25题10分）菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．考点：菱形的性质；平行四边形的判定．分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）设OM=x，根据∠MBO的正切值表示出BM，再根据△AOM和△OBM相似，利用相似三角形对应边成比例求出AM，然后根据△AEM和△BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可．434312121212124312-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----解答：（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：设OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴△AOM∽△OBM，∴=，∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----8.(2014•年山东东营,第24题11分)【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．考点：相似形综合题．分析：根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF（，根据全等三角形的性质，可得结论；根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．解答：证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----∵△ABC是等