北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站讲实数与整式、不等式与一次方程(组)知识点复习一、实数1.实数的分类(1)有理数:任一有理数总可以写成qp的形式,其中,p,q是互质的整数,这是有理数的重要特征。(2)无理数:初中遇到的三类无理数:(a)不尽方根;(b)特定结构;(c)特定意义的数,如sin45、等。2.实数中的几个概念(1)相反数;常有a+b=0与a、b互为相反数是等价的。(2)倒数;(3)绝对值:(a)一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。(b)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。(c)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值。(4)n次方根:1平方根:算术平方根:设a≥0,称a叫a的算术平方根,a叫a的平方根。(a)正数的平方根有两个,它们互为相反数;(b)0的平方根为0;(c)负数没有平方根。2立方根:3a叫实数a的立方根。(a)一个正数有一个正的立方根;(b)0的立方根是0;(c)负数有一个负的立方根。(5)实数与数轴1数轴:规定了原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴。原点、正方向、长度单位为数轴的三要素。2数轴上的点和实数的数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应。3.实数大小的比较(2)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。(3)正数大于零;负数小于零;正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小。(一正一负的两数,怎么样比较它们的绝对值的大小?)4.有效数字与科学记数法(3)科学记数:设N0,则N=a10n(其中1≤a10,n为整数).(4)有效数学:一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字:精确度的形式有两种:(a)精确到哪一位数;(b)保留几个有效数字。一个数的近似数,常常要用科学记数法来表示。北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站二、整式1、代数式的有关概念及分类(1)代数式:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。(2)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。(3)代数式的分类。2、整式的有关概念及运算(1)单项式:象x,7,-21x2y这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。(a)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。(b)单项式的系数:单项式中的数字因数叫单项式的系数(包括符号)(2)多项式:几个单项式的和叫做多项式。(a)多项式的项:多项式中每一个单项式叫多项式的项。一个多项式有几项就叫几项式。(b)多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。(c)升(降)幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升(降)幂排列。(3)整式:单项式和多项式统称为整式。(2)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。3、整式的运算:主要看一看幂的运算:(1)同底的幂相乘:am·an=am+n;(2)同底的幂相除:am÷an=am-n;(3)幂的乘方:(am)n=amn;(4)积的乘方:(ab)n=anbn.(5)a-m=ma1三、不等式1、不等式的基本性质:(7)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。(8)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。(9)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。2、一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合。3、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。4、不等式组的解集与解不等式组(1)几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。(2)求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。(3)解一元一次不等式组的步骤:①分别求出不等式组中各个不等式的解集;②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。四、方程与方程(组)北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站、方程与方程(组)有关概念(1)方程:含有未知数的等式。(2)整式方程:重点研究一元一次方程(ax+b=0,a0))(3)分式方程(可化为一元一次方程的分式方程)(4)二元一次方程组2.方程(组)的解与解方程(组)(1)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,只含有一个未知数的方程的解也叫做根。(2)方程组的解:使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值,叫做该方程组的解。(3)解方程:求方程解的过程。(4)等式的基本性质:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的结果仍是等式;等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不是零),所得的结果仍是等式。(5)一元一次方程(包括含字母系数的一元一次方程)解法的一般步骤:去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1(6)一元二次方程的解法:直接开平方法,因式分解法,配方法,公式法;(7)一次方程组的解法:一次方程组通过代入消元或加减消元转化为一次方程来解决。(8)可化为一元一次方程的分式方程的解法;分式方程通过去分母或换元转化为整式方程来解决,注意验根。(9)二元一次方程组的解法:通过代入消元或加减消元转化为一元一次方程来解决。典型例题例1判断题(1)倒数是它本身的数是1;(2)平方是它本身的数是1;(3)绝对值最小的实数是0;(4)实数a的倒数是a1;(5)两个无理数的和仍是无理数;(6)相反数是它本身的数是0;(7)最小的正整数是0;(8)一个数的平方根和它本身相等,这个数是0或1;(9)在-7,cot45,sin60,3,-9,(-7)2,722,3.1415926,0.101001001000…这九个数中有理数有7个。(10)81的算术平方根是9。(11)3a2=231a例2下列说法中正确的是()A、近似数1.70与近似数1.7的精确度相同;B、近似数5百与近似数500的精确度相同;C、近似数4.70104是精确到百位的数,它有三个有效数字4,7,0;D、近似数24.30是精确到十分位的数,它有三个有效数字。例3选择题:当0x1时,x2,x,x1的大小顺序为()A.x1xx2B.x1x2xC.x2xx1D.xx2x1例4若a0,b0,a|b|,则a,b,-a,-b的大小顺序是()A.-ba-abB.ab-a-bC.-bab-aDba-b-a例5若a,b,c三数在数轴上的对应点如图,其中O是原点,且|a|=|c|,化简|b+c|-|a-b|+|b-c|+|b|-|a|北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站0,则abcabcccbbaa||||||||的值是.例7已知实数x,y,z满足|4x-4y+1|+0412312zzzy,求(x+y)z2的值.例8解不等式121337xx,并在数轴上表示它的解集例9求不等式组13522135423xxxx的整数解例10已知:关于x的方程()()kxkx2222110有两个不相等的实根,求k的取值范围。例11解不等式3315x例12若方程组3313yxkyx的解为x、y,且2k4,则x-y的取值范围是()A.0x-y21B.0x-y1C.-3x-y-1D.-1x-y1例13乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)。现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地,支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少km?北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站某商店的老板销售一种商品,他要以不低于进价120%的价才能出售,但为了获得更多利润,他以高出进价80%的价格标价。若你想买下标价为360元的这种商品,最多降价(),商店老板才肯出售。A.80元B.100元C.120元D.160元例15解方程组:10231312yxyx例16北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台,上海可提供4台。已知重庆需要8台,武汉需要6台,从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示。有关部门计划用8000元运送这些仪器,请你设计一种方案,使武汉、重庆能得到所需要仪器,而且运费正好够用。又能否修改方案,降低整个运费?运费表(单位:元/台)武汉重庆北京400800上海300500例17若方程x+2y=2,2x+y=7,mx-y=0有公共解,求m的值.强化训练1.根据不等式的性质,下列变形正确的是()A.由a1得a1B.由21a得a21C.由-21a2得a2D.由-32x-1得x322.x与5的和不大于-1,用不等式表示为()北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站51B.x51C.x51D.x513.下列不等式组的求解结果正确的是()A.不等式组21xx的解集是x2B.不等式组11xx的解集是11xC.不等式组37xx无解D.不等式组31xx的解集是x34.若()axa11的解集是x1,则a必须满足是()A.a0B.a1C.a1D.a15.不等式1732x的正整数解的个数是()A.2B.3C.4D.56.“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为()A.230xB.230xC.230xD.230x7.如图在数轴上表示是哪一个不等式的解集()-2-1012A.x25.B.211xC.x1D.211x8.不等式组013xx的解集为()A.13xB.31xC.31xD.31x9.不等式3120x的解集为____________。10.代数式32m的值小于-2,m的取值范围是_______________。11.若a0,则关于x的不等式axb0的解集是__________。12.若ab0,则a3__________b3。13.如果axbab,,00,则x___________ab。14.如果32x的值不是正数,则x___________。15.当m_________时,代数式342243mm的值是非负数。16.解不等式21413xx,并将解集在数轴上表示出来。17.解不等式组)