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中考数学复习十．初中几何综合复习首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力。那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的问题。下面我们将对它们分别进行讨论一.折叠的意义1．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OBˊ是OB在折叠前的位置；图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△ABC是△ABˊC在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形如图如图（1）中OBˊ=OB；如图（2），△ABˊC≌△ABC；(3)图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称如图（1）OBˊ和OB关于直线l成轴对称；如图（2）△ABˊC和△ABC关于直线AC成轴对称。二．和折叠有关的问题图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一同来探讨这个问题。问题1:CBAOBَl图1AB´DB图2C将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分△AˊEF.（a）△AˊEF是什么三角形？结结论论：：三三角角形形AAEE΄΄FF是是等等腰腰三三角角形形证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的,∴∠1=∠2,又∵矩形的对边是平行的∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AA΄΄EE==AA΄΄FF三三角角形形AAEE΄΄FF是是等等腰腰三三角角形形方法二：∵图形在折叠前和折叠后的形状、大小不变，只是位置不同∴表示矩形宽度的线段EP和FQ相等，即∆AAˊEEFF的的边边AAˊEE和和AAˊFF上上的的高高相相等等，，∴AAˊEE==AAˊFF三三角角形形AAEE΄΄FF是是等等腰腰三三角角形形(b)改变折叠的角度α的大小，三角形AˊEF的面积是否会改变？为为什什么么??答答：：不不会会改改变变。。分分析析：：αα的的改改变变影影响响了了AAˊEE的的长长度度，，但但却却不不能能改改变变边边AAˊEE上上的的高高，，三三角角形形AAˊEEFF的的面面积积会会随随着着αα的的确确定定而而确确定定..例一：在上面的图中，标出点Aˊ在折叠前对应的位置A,四边形AˊEAF是什么四边形？分析：（1）由前面的分析可知Aˊ与Aˊ在折叠前的位置A关于折痕EF成轴对称,所以作Aˊ关FEAˊAFEAˊˊa123FEAˊaPQαAˊˊˊEF于EF的对称点即可找到点A（过点Aˊ作AˊA⊥EF交矩形的边于点A）。同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A。（（22））四四边边形形AAEEAAˊFF是是菱菱形形证法一：∵A是Aˊ在折叠前对应的位置,∴A和Aˊ关于直线EF轴对称,∴AAˊ⊥EF,且AO=AˊO,又∵AE∥AˊF,∴EO∶OF=AO∶OAˊ,∴EO=OF∴四四边边形形AAEEAAˊFF是是菱菱形形证法二：A是Aˊ在折叠前对应的位置,∴∆AEF≌∆AˊEF,AˊE=AˊE,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,AˊE=AˊF,∴AE=AF=AˊE=AˊF,∴四四边边形形AAEEAAˊFF是是菱菱形形..例2.在上题的图中,若翻折的角度α=30º,a=2,求图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积.。分析：图中被覆盖的部分△AˊEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰AˊF或AˊE的长。答：S四边形AEAˊF＝2S△AˊEF=（解答过程略）练一练：当α的大小分别45º、60º时，图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积是多少？例题3.如图：将矩形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN上，（如图中1的点P）,若AB=√3,则折痕AE的长为多少？分析：338ABCDα=45ºα=60ºABCDαEAˊFp2CBDMNEAPF折痕AE为直角三角形ABE的斜边，故解决本题的关键是求PE(或BE)的长。解法一：由折叠的意义可知，AP⊥EP,延长EP交AD于F,则FE=FA(在问题一中已证)∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,又∠APE=∠D=90°,∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2。∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC且AN是AP的一半∴MN⊥AN∴AE=AF又FE=FA(问题1的结论)∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2。由BC//MN//DA且M、N分别为CD和AB的中点可得EP=PF，EO=AO∴PO=21AF，又PO=21AE，∴AE=AF∴AE=AF=EF，∠EAF=60°（其余同上）例题4.在例3中，若M、N分别为CD、AB的三等分点（如图），AB=√5,其他条件不变，折痕AE的长为多少？分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出EB(或EP)的长解：延长EP交AD于F,则FE=FA(已证)∵M、N分别是矩形的边AB和CD的三等分点∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,设EP=x,则PF=2x,AF=EF=3x,在直角三角形APF中有AP²+PF²=AF²∴5+(2x)²=(3x)²,∴x=1,∴AE²=1+5=6,∴AE=6例4如图3,有一张边长为3的正方形纸片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B折至折痕MN上,落在P点的位置,折痕为AE.(1)求MP的长;(2)求以PE为边长的正方形的面积.分析：将本题与例题2比较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的关键是求PE和PN的长p2CBDMNGHEAFPp2CBDMNEAFP解法一：延长EP交AD的延长线于F,则FE=FA(已证)M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC且AN是AP的一半∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30°,∠1=30°∴PN=323，(1)∴MP=1-PN=3-323,又AP=3,∴EP=3，(2)∴以EP为边长的正方形的面积为3。其他解法请同学们思考。例5.如图，将矩形ABCD折叠，使C点落在边AB上，（如图中的M点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD的面积分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形的边AB上，由折叠的意义可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等的，所以，求四边形CNMD的面积的关键就是求ΔDCN或ΔDMN的面积，所以本题的解题关键还是求出NC(或BN)的长.解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2.设NC=x,则MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=310S四边形CNMD=2S△DCN=10310=3100例6.将长为8，宽为6的矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF的长。（2）求三角形DEF的面积分析：由矩形折叠的意义可知，EF垂直平分BD（O为BD的中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1∴O为EF的中点，所以可设法先求出EO的长，或直接求EF的长,进而求三角形DEF面积。解（法一）：∵D、B关于EF成轴对称∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10MDABCNABCDQPEFOP又AB//DC∴EO:OF=DO:OB∴DO=5(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=415∴EF=215(2)S△DEF=21EF·DO=21×215×5=475解（法二）：(1)过C作CP//EF，交AB于P∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴21528610CP∴EF=215(2)S△DEF=21EF·DO=21×215×5=475同学们，图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3.将长方形纸片折叠成如图所示的形状，图中重叠的部分△AAEE΄΄FF是是等等腰腰三三角角形形；；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。今天的讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好的成绩.FEAˊˊa