中考数学复习教材回归知识讲解反比例函数在中考中的常见题型

中考数学复习教材回归知识讲解反比例函数在中考中的常见题型◆知识讲解1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小．（2）当k0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．（4）若双曲线y=kx图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x．（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．◆例题解析例1（2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=12x的图像经过点A，（1）求点A的坐标；（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=12x可求得a的值，从而得出点A的坐标．（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a0．∵点A在反比例函数y=12x的图像上，得3a=12a，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．∴点A的坐标为（2，6）．（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．∵m0，∴m=22(6)2m．解得m=103，经检验m=103是原方程的根，∴点B的坐标为（0，1013）．设一次函数的解析式为y=kx+1013．由于这个一次函数图像过点A（2，6），∴6=2k+103，得k=43．∴所求一次函数的解析式为y=43x+103．例2如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=mx的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的12，而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，0mx），其中00，m0．在Rt△ABO中，AB=0mx，OB=x0．则S△ABO=12·x0·0mx=3，即m=6．所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=6x．（2）由66yxyx得x2+6x－6=0，解得x1=－3+15，x2=－3－15．∴A（－3+15，3+15），D（－3－15，3－15）．由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有y=6x．即xy=6．∴S△DEO=12│xDyD│=3，即S△DEO=S△ABO．（3）由A（－3+15，3+15）和D（－3－15，3－15）可得AO=43，DO=43，即AO=DO．由图可知∠AOD90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．◆强化训练一、填空题1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．图1图2图32．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－203，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．4．若y=2131aaax中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．5．反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．7．反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．8．（2008，咸宁）两个反比例函数y=kx和y=1x在第一象限内的图像如图3所示，点P在y=kx的图像上，PC⊥x轴于点C，交y=1x的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图像于点B，当点P在y=kx的图像上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．二、选择题9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1k2B．1≤k≤3C．1≤k≤4D．1≤k4图4图5图610．反比例函数y=kx（k0）的第一象限内的图像如图5所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，设△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（）A．S=4kB．S=2kC．S=kD．Sk11．如图6，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）A．2B．22C．2D．2212．函数y=mx与y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）13．如果不等式mx+n0的解集是x4，点（1，n）在双曲线y=2x上，那么函数y=（n－1）x+2m的图像不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（2006，攀枝花）正比例函数y=2kx与反比例函数y=1kx在同一坐标系中的图像不可能是（）15．已知P为函数y=2x的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为（）A．0个B．2个C．4个D．无数个16．如图，A，B是函数y=1x的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（）A．S=1B．1S2C．S=2D．S2三、解答题17．已知：如图，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点，求：（1）A，B两点的坐标；（2）△AOB的面积．18．（2006，广州白云区）如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=－8x的图像交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．19．已知函数y=kx的图像上有一点P（m，n），且m，n是关于x方程x2－4ax+4a2－6a－8=0的两个实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=kx的解析式．20．（2006，北京市）在平面直角坐标系Oxy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90°得到直线L．直线L与反比例函数y=kx的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．21．（2008，南通）如图所示，已知双曲线y=kx与直线y=14x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=kx上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y=kx于点E，交BD于点C．（1）若点D的坐标是（－8，0），求A，B两点的坐标及k的值；（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；（3）设直线AM，BM分别与y轴相交于P，Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．22．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上的一个动点，可以与B重合但不与A重合，DP交弓形弧于Q．（1）求证：△CDQ∽△DPA；（2）设DP=x，CQ=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当DP之长是方程x2－8x－20=0的一根时，求四边形PBCQ的面积．答案:1．202．y=－12x3．y=100x4．2或－1；－15．－2；256．0≤b47．（－2，－2）8．①②④9．C10．B11．C12．C13．B14．D15．A16．C17．（1）由82yxyx，解得1142xy，1124xy∴A（－2，4），B（4，－2）．（2）当y=0时，x=2，故y=－x+2与x轴交于M（2，0），∴OM=2．∴S△AOB=S△AOM+S△BOM=12OM·│yA│+12OM·│yB│=12·2·4+12·2·2=4+2=6．18．（1）y=－x+2（2）S△AOB=619．由△=（－4a）2－4（4a2－6a－8）≥0得a≥－43，又∵a是最小整数，∴a=－1．∴二次方程即为x2+4x+2=0，又mn=2，而（m，n）在y=kx的图像上，∴n=km，∴mn=k，∴k=2，∴y=2x．20．依题意得，直线L的解析式为y=x．∵A（a，3）在直线y=x上，则a=3．即A（3，3）．又∵A（3，3）在y=kx的图像上，可求得k=9．∴反比例函数的解析式为y=9x．21．（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y=14x中，得y=－2．∴B点坐标为（－8，－2），而A，B两点关于原点对称，∴A（8，2）．从而k=8×2=16．（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上，∴mn=k，B（－2m，－2n），C（－2m，－n），E（－m，－n）．S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=12mn=12k，S△OEN=12mn=12k，∴S四边形OBCE=S矩形DCNO－S△DBO－S△OEN=k．∴k=4．由直线y=14x及双曲线y=4x，得A（4，1），B（－4，－1），∴C（－4，－2），M（2，2）．设直线CM的解析式是y=ax+b，由C，M两点在这条直线上，得42,22.abab解得a=b=23．∴直线CM的解析式是y=23x+23．（3）如图所示，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1．设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a，于是p=111AMMAamMPMOm．同理q=MBMQ=mam，∴p－q=amm－mam=－2．22．（1）证∠CDQ=∠DPA，∠DCQ=∠PDA．（2）y=60x（8≤x≤185）．（3）S四边形PBCQ=48－93．