中考数学总复习专题基础知识回顾六方程与方程组

中考数学总复习专题基础知识回顾六方程与方程组一、单元知识网络二、考试目标要求1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程.3.会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个).4.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.5.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.三、知识考点梳理考点一：等式性质1.等式的两边都加上(或减去)同一个整式，结果仍是等式.2.等式的两边都乘以同一个数，结果仍是等式.3.等式的两边都除以同一个不等于零的数，结果仍是等式.考点二：方程及相关概念1.方程定义含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).3.解方程求方程的解的过程，叫做解方程.考点三：一元一次方程1.一元一次方程定义只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.2.一元一次方程的一般形式:.3.解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化成1；(6)检验(检验步骤可以不写出来)考点四：二元一次方程组1.二元一次方程组定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.2.二元一次方程组的一般形式:3.二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法.考点五：分式方程1.分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程与整式方程的联系与区别：分母中是否含有未知数.3.分类:(1)可化为一元一次方程的分式方程；(2)可化为一元二次方程的分式方程.4.解分式方程的一般步骤：(1)去分母，化为整式方程：①把各分母分解因式；②找出各分母的最简公分母；③方程两边各项乘以最简公分母；(2)解整式方程.(3)检验(检验步骤必需写出来).①把未知数的值代入原方程(一般方法)；②把未知数的值代入最简公分母(简便方法).(4)结论确定分式方程的解.考点六：一元二次方程1.一元二次方程定义只含有一个未知数，且未知数的次数是二次的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：.3.一元二次方程的解法：(1)配方法1)通过配成完全平方式的形式来解一元二次方程的方法称为配方法.2)用配方解方程的一般步骤:①化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；②移项:把常数项移到方程的右边；③配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；④变形:方程左边写成完全平方形式，右边合并同类；⑤开方:求平方根；⑥求解:解一元一次方程；⑦定解:写出原方程的解.(2)公式法:1)一元二次方程:当时，它的根是2)用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solvingbyformular).3)用公式法解题的一般步骤:①变形:化已知方程为一般形式；②确定系数:用a，b，c写出各项系数；③计算:的值；④代入:把有关数值代入公式计算；⑤定根:写出原方程的根.(3)因式分解法:1)当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①化方程为一般形式；②将方程左边因式分解；③根据“两个因式的积等于零，至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程；④分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.考点七：一元二次方程根的判别式我们知道:代数式对于方程的根起着关键的作用.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.所以我们把叫做方程的根的判别式，用“△”来表示，即.考点八：列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整.3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组).4.解:解所列的方程(组).5.验:(有三次检验①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义).6.答:注意单位和语言完整.四、规律方法指导复习本专题时应抓住其实质：元和次，在定义上区分方程(组)的各种类型，并能够根据定义具有的双重性解方程(组)和研究分式方程增根、失根情况.在解方程(组)时，把握住转化的数学思想：化多元为一元，化高次为低次，化分式为整式；采取的手段是加减消元法、代入消元法、因式分解法、换元降次法、去分母等方法；对于特殊形式的方程(组)可采取对称思想、整体思想、非负数性质、定义法、拆项法等特殊方法求解.列方程(组)解应用题要善于从社会关注的热点问题中寻找题中的等量关系.经典例题透析类型一：一元一次方程1．若是关于x的一元一次方程，则m的值是()A.B.-2C.2D.4思路点拨：根据一元一次方程的定义，首先要满足未知项系数不为0，其次未知项的最高次数为1.解：且，所以.举一反三：【变式1】关于x的一元一次方程的解为__________.思路点拨：根据一元一次方程的定义.解析：原方程是一元一次方程，则有两种情况：(1)当k-1=1，即k=2时，原方程为3x+x-8=0，解之得x=2；(2)当且时，也就是当k=-1时，原方程化为-2x-8=0，解之得x=-4；所以原方程的解为x=2或x=-4.故答案为x=2或x=-4.总结升华：运用一元一次方程的概念特征解题，可以从两个方面把握：其一是应用概念的本质属性作出正确的判断；其二是在这一概念下，根据概念具备的本质特征得出相应的结论(如本例中的k-1=1和且)，在解题过程中不断探索，实现解题目的.2．解方程：(1)；(2)[(-1)-2]-2x=3.思路点拨：(1)因为方程含有分母，应先去分母.注意每一项都要乘以6；(2)此方程含括号，因为×=1，所以先去中括号简便.解：(1)两边同时乘以6，(去分母)得3(x+1)=2x-(3x-1)-6x，去括号，得3x+3=2x-3x+1-6x移项后整理，得10x=-2，∴.(2)去中括号：(-1)--2x=3去小括号：-1--2x=3去分母：5x-20-24-40x=60移项：5x-40x=60+44合并同类项：-35x=104系数化成1得：x=-.总结升华：(1)去分母时，在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.要注意不要漏掉不含分母的项；(2)去括号，按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号.特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号.括号前有数字因数时要注意使用分配律；(3)移项注意要改变性质符号；(4)技巧性解法的发现需要认真观察问题的结构特征，需要突破习惯性思维的束缚.举一反三：【变式1】解下列方程(1)8-9x=9-8x；(2)；(3)；(4).解：(1)8-9x=9-8x-9x+8x=9-8-x=1x=-1易错点关注：移项时忘了变号；(2)法一：4(2x-1)-3(5x+1)=248x-4-15x-3=24-7x=31易错点关注：两边同乘以各方面的最小公倍数，注意等号右边的单个数字1也要乘以24；注意去分母后的去括号问题，4(2x-1)错解为8x-1，分配需逐项分配，-3(5x+1)化为-15x+3忘了去括号变号；法二：(就用分数算)易错点关注：此处易错点是第一步拆分式时将，忽略此处有一个括号前面是负号，去掉括号要变号的问题，即；(3)6x-3(3-2x)=6-(x+2)6x-9+6x=6-x-212x+x=4+913x=13x=1易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号；(4)2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)8x-3-25x+4=12-10x8x-25x+10x=12+3-4-7x=11易错点关注：此题首先需面对分母中的小数，有同学会忘了小数运算的细则，不能发现，而是两边同乘以0.5×0.2进行去分母变形，更有思维跳跃的同学错认为0.5×0.2=1，两边同乘以1，将方程变形为：0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x).总结升华：无论什么样的一元一次方程，其解题步骤概括无非就是“去分母，去括号，移项，合并，未知数系数化1”这几个步骤，从操作步骤上来讲很容易掌握，但由于进行每个步骤时都有些需注意的细节，许多都是我们认识问题的思维瑕点，需反复关注，并落实理解记忆才能保证解方程问题――做的正确率.若仍不够自信，还可以用检验步骤予以辅助，理解方程“解”的概念.类型二：一元二次方程3．已知：3是关于x的方程的一个解，则2a的值是()A.11B.12C.13D.14解：只需将x=3代入方程，再解方程12-2a+1=0，得到，所以2a为13.故选C.总结升华：此题既考察了方程解的概念，又考查了方程的解法，这种用方程解的概念求待定系数的题目是较为常见的.举一反三：【变式1】已知x=-1是关于x的方程的一个根，则a=________.解：把x=-1代入原方程，得，即a2+a-2=0所以，解得a1=1，a2=-2.答案：1或-2.总结升华：方程的解一定适合原方程，把这个解代入原方程求出a的值.【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-(k＋1)x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值.解：把x=2代入方程，得4-2k-2-6=0∴k=-2.∴原方程为x2+x-6=0解之得：x1=2，x2=-3所以方程的另一根为-3，k值为-2.4．按要求解一元二次方程.(1)x2+4x+4=1(直接开平方法)思路点拨：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方式，那么原方程就转化为(x+2)2=1．解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3.(2)6x2-7x+1=0(配方法)解：移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-x=-配方，得：x2-x+()2=-+()2(x-)2=x-=±x1=+==1；x2=-+==.(3)5x+2=3x2(公式法)思路点拨：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：将方程化为一般形式3x2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49＞0x=所以x1=2，x2=-.(4)(x-2)2=2x-4(因式分解法)思路点拨：等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2(x-2)，再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式解：移项，得(x-2)2-2x+4=0(x-2)2-2(x-2)=0因式分解，得：(x-2)(x-2-2)=0整理，得：(x-2)(x-4)=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=4.5．关于x的方程x2-kx+k-2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定考点：一元二次方程根的判别式.思路点拨：对于一元二次方程而言，当判别式△＞0时方程有二个不相等实数根，当△＜0时方程无实数根，当△=0时方程有二个相等实数根，所以判定一元二次方程根的情况关键是求“△”.解：△=k2-4(k-2)=k2-4k+8=(k-2)2+4，所以无论k取任何数，△总是大于0的，所以该方程有两个不相等实数根.应选A.举一反三：【变式1】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．思路点拨：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8