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1图形的相似一级训练1．(2011年浙江台州)若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶5D．1∶162．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是()A．1,2,3,4B．1,2,2,4C．3,5,9,13D．1,2,2,33．(2012年陕西)如图6－4－17，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝()A．1∶2B．2∶3C．1∶3D．1∶4图6－4－17图6－4－18图6－4－19图6－4－204．(2011年江苏无锡)如图6－4－18，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①、②、③和④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是()A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似5．(2011年湖南怀化)如图6－4－19，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为()A．9B．6C．3D．46．如图6－4－20，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为()A．(2，0)B.32，32C．(2，2)D．(2,2)7．若△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为()A．5∶3B．3∶2C．2∶3D．3∶58．(2012年黑龙江牡丹江)如图6－4－21，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有()2A．4对B．5对C．6对D．7对图6－4－21图6－4－229．如图6－4－22，已知在△ABC中，P是AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件____________(只要写出一种合适的条件)．10．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为______cm.11．(2010年广东佛山)一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图6－4－23，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看(精确到1cm)?参考数据：黄金分割比为5－12，5＝2.236图6－4－2312．已知：如图6－4－24，D，E分别在△ABC的边BC，AC上，AD，BE交于点G，AD⊥BC，点F在AD上，且△EFG∽△BDG.求证：△AEF∽△ACD.图6－4－24313．(2012年湖南株洲)如图6－4－25，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.(1)求证：△COM∽△CBA；(2)求线段OM的长度．图6－4－25二级训练14．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值()A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个15．如图6－4－26，A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接度量A，B间的距离．小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图6－4－26(1)、(2)、(3)所示(图中a，b，c表示长度，α，β，θ表示角度)．(1)请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度：图6－4－26(1)AB＝________，图6－4－26(2)AB＝________，图6－4－26(3)AB＝________；(2)请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图(不要求写画法)，用字母标注需测量的边或角，并写出AB的长度．4图6－4－2616．如图6－2－27，点C，D在线段AB上，△PCD是正三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．图6－2－2717．如图6－4－28，江边同一侧有A，B两间工厂，它们都垂直于江边的小路，长度分别为3千米、2千米，且两条小路之间的距离为5千米，现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管最短，则供水站应建在距点E处多远的位置？图6－4－285三级训练18．(2011年湖南怀化)如图6－4－29，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为点M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求这个矩形EFGH的周长．图6－4－296参考答案1．A2.B3.D4.B5.B6.C7.D8.C9．∠APC＝∠ACB10.1011．解：设其应穿xcm高的鞋子，根据题意，得6595＋x＝5－12.解得x≈10cm.12．证明：∵△EFG∽△BDG，∴∠EFG＝∠GDB.又∵∠ADC＝90°，∴∠EFG＝90°.在△AEF和△ACD中，∠AFE＝∠ADC，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD.13．(1)证明：∵点A与点C关于直线MN对称，∴AC⊥MN.∴∠COM＝90°.在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠COM＝∠B.又∵∠ACB＝∠ACB，∴△COM∽△CBA.(2)解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∴OC＝5.∵△COM∽△CBA，∴OCCB＝OMAB.7∴OM＝154.14．B15．解：(1)a·tanα2cb(2)(注：本题方法多种，下面列出3种供参考)方法一：如图D43.图D43方法二：如图D44.图D44方法三：如图D45.图D4516．解：(1)当CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB.∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°.∴∠ACP＝∠PDB＝120°.8若CD2＝AC·DB，则根据相似三角形的判定定理，得△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时，∠APC＝∠PBD，∵∠PDB＝120°，∴∠DPB＋∠DBP＝60°.∴∠APC＋∠BPD＝60°.∴∠APB＝∠CPD＋∠APC＋∠BPD＝120°.17．解：如图D46，作出B关于河岸的对称点C，连接AC，则BF＋FA＝CF＋FA＝CA，根据两点之间线段最短，可知水站建在F处时，供水管路最短．易得△ADF∽△CEF.∴设EF＝x，则FD＝5－x.根据相似三角形的性质，得EFFD＝CEAD，x5－x＝23，解得x＝2.即EF＝2千米．故应建在距点E2千米处的位置．图D4618．(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC.∴AMAD＝HGBC.(2)解：由(1)，得AMAD＝HGBC，设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，即2x＝24.∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．