中考数学猜想性习题的解题策略

中考数学猜想性习题的解题策略上海市平乐中学庄士忠200540初中数学新教材，有许多新的教学理念和思维方法，而猜想法就是其中一个突出亮点，它渗透在许多新的数学体例之中，猜想是对研究的问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的推测性想象的思维方法。现在结合一些具体例子，就如何解决猜想新题型的若干策略予以归纳总结。一、探索性猜想是指依据已有的知识和结果，经尝试探索而获得对于待解决问题向结果靠近的方向性猜想。例1过等腰△ABC底边BC和BC延长线上一点P向两条腰做垂线段PE、PF，CM为AB腰上的高，如图1与图2，通过测量并计算PE、PF的和与差，再与CM比较大小。（1）观察和与差的变化情况，能得出什么结论？（2）当P在直线BC上移动其他条件不变，上述结论还成立吗？分析与点评：通过学生亲手实践，发现和与差都与腰上的高相等，再让学生多次尝试，由静态到动态，再探索出它们的结论是一致的。这样，引导学生进行尝试、观察、猜想，再进行变换创新，激发学生的探索热情和创造思维。对应训练：任意画一个四边形ABCD，各边中点为E、F、G、H，连接EF、CH、HE，如图3（1）分别量出EF、FG、GH、HE的长，你发现什么？（2）分别量出∠1，∠2，∠3，∠4的度数，你又发现什么？（再画几个四边形试试，你能得到什么猜想？）二、归纳性猜想是指运用不完全归纳法对研究的问题个例、特例进行观察、分析，从中得到有关命题的形式、结论或方法的猜想。例2计算3的正整数次幂：656132187372932433813273933387654321归纳各计算结果中的个位数字的规律，可得20033的个位数字为多少？分析与点评：通过计算结果发现3的正整数次幂的个位数字有每4次一个循环的规律，并且34500200333，因此20033的个位数字为7。本例以旧引新，从具体到抽象，从单一到开放，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握猜想的数学思想。对应训练观察等式并填空：233323323632132111，，33334321________……想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜，可以引出什么规律，并按此规律计算：33333n4321__________三、类比性猜想是指运用类比方法，通过比较两个问题的共同性，得出新命题或新方法的猜想。例3在计算10023331的值时，可设10023331S①则1011003233333S3②②－①得2S=3101－1∴213S101试利用上述方法求200628881的值并求一般地)1X(XXX1n2的值分析与点评：从计算结果213S101中不难发现，所求得的和等于数列中末项与首项的差的一半，因此，需求的结果分别为2182006和21Xn。本例运用类比方法，能激发学生参与研究、发现规律的兴趣。在数学教学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要方法。对应训练计算7778×9999+3333×6666解：原式=7778×9999+9999×2222=9999×（7778+2222）=9999×10000=99990000仿照上面的方法计算：（1）99999×22222+33333×33334（2）2002×20012001－2001×20022002四、试验性猜想是指用试验法研究问题，每次试验都能给人们提供一种信息，进而得出相应的猜想。例4已知01x3x2试猜想确定n2n2x1x（n为正整数）的个位数字。分析与点评：显然x≠0，故有3x1x，特殊地当n=1时，7232)x1x(x1x2222当n=2时，47272)x1x(x1x222244当n=3时，22072472)x1x(x1x224488…………据此，可作猜想：对于任意正整数n，n2n2x1x的个位数字可能都是7。试验法体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的重要数学思想，这有利于学生养成从特殊事例引发一般规律的思想方法。对应训练已知：abc≠0且a+b+c=0，则代数式abccabbca222的值是定值，还是不定值？如果是定值请求出。（2004年第二十一届全国初中数学联赛试题改编）提示：特取符合条件的值如a=1，b=1，c=－2代入试验，即可猜想它是定值且为2。五、构造性猜想是指依据数学问题的相似“模式”，利用模型构造法作出相应数学规律或方法的猜想。例5观察下列等式322332220bab3ba3a)ba(bab2a)ba()0ab(1)ba(……你能发现上述展开式有什么规律？能写出10)ba(的展开式吗？分析与点评：如果只靠想象，很难发现展开式各项之间存在什么规律，但是通过将展开式的系数构造成一个模型，如图4，就不难发现它们的系数有内在联系，即从2起每个数都为它上面两数之和，因此就不难写出10)ba(的展开式了。本例通过巧妙构造模型，唤起学生学习数学的好奇心和兴趣，继而探索数学的奥秘，同时也使学生感受到数学的对称美、谐和美。解题中应用模型思想有利于培养与发展学生整体处理和创造性处理问题的能力。对应训练通过构造一个模型并利用模型特征性计算下式：40961321161814121提示：把一个面积为1的正方形等分成两个面积为21的长方形，再把其中一个长方形等分成两个面积为41的长方形，如此进行下去，如图5，则可以利用图形提示的规律来计算上题。由上述可见，猜想不仅是新颖的数学思维方法，更是培养学生探索精神，提高学生创新能力的最佳途径。