中考数学试卷中的“课题学习”

中考数学试卷中的“课题学习”（人教版）贵州省遵义市习水县同民镇中学：袁水波电子邮箱:[e-mail]“课题学习”是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在“实践与综合应用”课程领域设置的全新的课程内容，帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展学生解决问题的能力，加深学生对“数与代数”、“统计与概率”、“空间与图形”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。《课程标准》认为：数学本身就是一个过程，只有通过大量的数学活动，学生才能形成对数学的全面的认识。因此，过程本身就是一个课程目标。数学活动考查的主要方面包括：数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究与交流的意识、能力和信心等；能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。一般呈现的方式有：1、设置多层次的问题，“暴露”数学活动过程；2、迁移活动过程中的思想方法，间接考查学生的数学活动过程；3、通过试题解答的结果，进行数学活动过程的考查；4、设计一些包含活动过程的问题，在活动中进行有关过程性目标的考查。一、突出综合性中考数学试卷中的“课题学习”的综合性主要体现在两个方面：1、知识内容的综合；2、学生在解决问题的过程中需要综合运用数学知识、经验和方法进行求解。图1图2（2007年·湖北孝感）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM’的解析式为y=kx,当∠M’BC=600,求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？将“数与代数”与“空间与图形”的知识内容进行了综合，不仅涉及三角形、四边形的知识，还涉及函数、方程和不等式的知识，综合性强，思维价值高，需要学生在理解折叠纸片的基础上，综合运用数学知识分析和解决问题，较好地考查学生探索研究新问题的能力。二、呈现过程中考数学试卷中的“课题学习”能呈现整个“具体而微”的学习过程，有的问题的解决能使学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的全过程；有的问题能体现研究问题的一般思维过程，如渗透猜想、合理推理到逻辑推理的过程。虽然不可能在中考考场呈现“课题学习”的实践过程，但试题的设计可以呈现学生的学习过程，学生可以独立地利用数学知识和其他相关知识分析问题和解决问题，这个过程也是学生自主探索研究的过程，它是“课题学习”探究过程的微观呈现。（2007年·江苏淮安）某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离。实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)。实验步骤：第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长。实验数据：ABFCDEP线段ABCDADEFBF长度(米)2.510.81.20.6问：(1)根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离(精确到0.1米)；(2)假定你是该小组成员，请你用一句话谈谈本次实践活动的感受。测量支架顶端到地面的距离与测量树的高度或旗杆的高度本质上是相同的，是数学中经典的“课题学习”，能使学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的全过程。整个过程虽然不是测量的实践过程，但可以呈现学生“具体而微”的研究过程，这个过程需要学生从问题出发，理解操作步骤、寻找实施解决问题的方法、并不断进行调整，进而得出问题的答案。此题突出了对学生解决问题的过程以及解决问题的方法和经验的考查。（2007年·湖北荆门）一、问题背景某校九年级(1)班课题学习小组对家庭煤气的使用量做了研究，其实验过程和对数据的处理如下．仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮(以下简称旋钮)的位置为竖起方向，把这个位置定为0°，煤气开到最大时，位置为90°．(以0°位置作起始边，旋钮和起始边的夹角)．在0~90°之间平均分成五等分，代表不同的煤气流量，它们分别是18°，36°，54°，72°，90°，见图1．图1不同旋钮位置示意图72905436180在这些位置上分别以烧开一壶水(3.75升)为标准，记录所需的时间和所用的煤气量．并根据旋钮位置以及烧开一壶水所需时间(用t表示)、所用煤气量(用v表示)，计算出不同旋钮位置所代表的煤气流量(用L表示)，L=v/t，数据见右表．这样为可以研究煤气流量和烧开一壶水所需时间及用气量之间的关系了．位置烧开一壶水所需流量时间(分)煤气量(m3)m3/分18°190.130.006836°160.120.007654°130.140.010772°120.150.012490°100.170.0172二、任务要求图3煤气流量和烧开一壶水所需时间关系0.0068180.0076360.0107540.0124720.01729002051015流量(m3/分)时间(分)1．作图：将下面图2中的直方图补充完整；在图3中作出流量与时间的折线图．图2煤气流量和烧开一壶水所需煤气量关系图0.170.140.13煤气使用量(m3)流量(m3/分)0.160.140.120.1800.0172900.0124720.0107540.0076360.0068182．填空：①从图2可以看出，烧开一壶水所耗用的最少煤气量为_______m2，此时旋钮位置在______．②从图3可以看出，不考虑煤气用量，烧开一壶水所用的最短时间为_______分钟，此时旋钮位置在______．3．通过实验，请你对上述结果(用煤气烧水最省时和最省气)作一个简要的说明．此题的设计充分展现了研究实际问题的一般过程，学生在试题的引导下完整地经历下列研究过程：问题的提出、设计实验过程、观察收集数据、处理数据、获得有价值的结论。这也是学生自主研究的过程，它是“课题学习”过程的微观呈现。另外，此题还关注差异性，考查层次分明，使不同水平的学生展示不同的探究水平和能力三、渗透方法渗透方法是中考数学试卷中的“课题学习”的一个重要特征，不仅有研究问题的一般方法，如：从特殊到一般，从猜想推理到逻辑推理验证等；还有解决问题的常用方法，如：在解决问题过程中的模型选择，归纳、类比的方法等。ACBCABAC121SSSS（2007年·江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线L为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．AＣＢ图1ADB图2CADB图3CFEFCBDEA图4此题以新定义“黄金分割线”为出发点，渗透了研究问题的一般方法：从猜想、合情推理到逻辑推理验证，同时从简单或特殊的情形入手，并将从简单或特殊的情形获得的结论或研究方法迁移到较复杂的情形。此题中，先要求学生研究三角形的黄金分割线，然后用类比的方法研究平行四边形的黄金分割线，充分体现了“课题学习”的教育价值。（2007年·河北）在图1—5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角△FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．F图1ABCEDHG（2b＜a）思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究（1）正方形FGCH的面积是；（用含a，b的式子表示）图3FABCDE图4FABCDE图2FABC(E)D（2b＝a）（a＜2b＜2a）（b＝a）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．F图5ABCED（b＞a）联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．此题揭示了研究问题的重要方法：操作、思考发现、实践探究、联想拓展。同时此题也采用了类比的研究方法，将图形的割补的方法使用在某种属性上相同或相似的其他图形上，凸显了这种研究方法的重要价值。四、体现开放中考数学试卷中的“课题学习”能使学生产生丰富多彩的研究体验和个性化的、创造性的表现，是考查学生创新意识的重要载体，所以活动过程或者结果常常具有开放性。（2007年·广东梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．此题是方案设计型课题学习。在设计运送考生的方案时，要有一定的预见性，但如何设计方案、如何通过计算说明和验证方案的可行性都因人而异，具有较大的开放性，也体现了“课题学习”的个性化特征。典型的方案有：①先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场；②8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们与前面4人同时到达考场。在中考数学试卷中设置“课题学习”的考查内容，对保证数学课程内容的完整性，促进“课题学习”内容的教学，引导学生以自主探索、合作交流的学习方式理解数学、认识数学，体会数学与现实生活的联系，体会数学知识与现实社会需要之间的联系，发展解决问题的策略，树立正确的数学观具有重要意义。谢谢！祝习水教育锦上添花！