中考数学题(四)

2009年全国各地中考数学压轴题专集（四）1．（甘肃省陇南市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．2．（甘肃省平凉市）如图，在平面直角坐标系中，半圆M的圆心M在x轴上，半圆M交x轴于A（－1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，弦AC的垂直平分线交y轴于点D，连接AD并延长交半圆M于点E．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求证：AC＝CE；（3）若P为x轴负半轴上的一点，且OP＝21AE，是否存在过点P的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在．请说明理由．3．（甘肃省张掖市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t．（1）求证：OQ＝QM；（2）求线段BM的长（用含t的代数式表示）；（3）△BMN与△MON能否相似？若能，求出此时△BMN的面积；若不能，请说明理由．yOxABPMQCMOACBxEDyBMQOPNAyx4．（甘肃省甘南州）如图所示，在直角坐标系中，⊙P经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（－6，0）、B（0，－8）两点，两点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）有一开口向下的抛物线过B点，它的对称轴平行于y轴且经过点P，顶点C在⊙P上，求该抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S△QDE＝151S△ABC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关）如图1，抛物线y＝x2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；（2）设抛物线y＝x2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y＝x2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．6．(内蒙古呼和浩特市)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？yxBAOC图1yxBAOC图2yxBAOC图3PADOBCQBCDExyPOA7．（内蒙古包头市）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．8．（内蒙古鄂尔多斯市）已知：t1，t2是方程t2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝32x2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．9．（内蒙古锡林郭勒盟通辽市兴安盟呼伦贝尔市）如图，矩形OABC的对角线OB在x轴上，点C的坐标为(4，3)，将矩形OABC翻折，使点B与坐标原点O重合，点C落在点D处．（1）求点B和点D的坐标；（2）一条抛物线经过原点O，顶点为D，求该抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线OD段上是否存在点P，使得四边形POBD的面积最大？若存在，求出其最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．yxOBAOQPxyC(4，3)AOBxyDABODCxy10．（内蒙古赤峰市）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝xk的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝10，tan∠AOC＝31，点B的坐标为（m，－2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．11．（内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－21，23），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，33），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．BAOxyCB′D12．（内蒙古乌兰察布市）如图1，直线y＝43x－1与抛物线y＝－41x2交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AB的长；（2）若以AB为直径的圆与直线x＝m有公共点，求m的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P，Q两点，过C，P，Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由．13．（内蒙古巴彦淖尔市）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)、B(7，0)，与y轴交于点C，且OC的长为7．（1）求抛物线的表达式；（2）若过点C的直线y＝kx＋b与抛物线相交于点E(5，m)，求直线CE的表达式；（3）求△CBE的面积S的值；（4）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．14．（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________；（3）在（2）的条件下，若AG＝25，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个AACPyOxQ图2ACyOxB图1ACBO1E－1yx角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝23，求线段PQ的长．15．（黑龙江省哈尔滨市）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．ABCMHOxyABCMHOxy图1图2ABCMHOxyABCMHOxy备用图备用图16．（黑龙江省牡丹江市、鸡西市）如图，□ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值．（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝316，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（黑龙江省大庆市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在y轴负半轴上，CD交x轴正半轴于E，DA交y轴正半轴于F，OF＝1，抛物线y＝ax2＋bx－4经过点B、E，且与直线AB只有一个公共点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上的一点，使得锐角∠PBF＜∠ABF，求点P的横坐标xp的取值范围；（3）过点C作x轴的垂线，交直线AD于点M，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段AM总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？xyADBOCyABCDEFOx18．（黑龙江省齐齐哈尔市、绥化市）直线y＝643x与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S＝548时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．19．（黑龙江省大兴安岭地区）直线y＝bkx（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程48142xx＝0的两根（OA＞OB）．动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点P的运动时间为t(秒)，△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（3）当S＝12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．xAOQPByxAOPBy20．（黑龙江省双鸭山市、黑河市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－43x－12分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴上，且△ABC∽△AOB．（1）求点C的坐标；（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向B运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向A运动，连结PQ．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．ABOyCx