中考数学题型变化的思考

第1页共11页中考数学题型变化的思考从《中考数学学科说明及样卷》中可以知道：今年中考卷的题型、题量和部分试题的分值有所调整，其中题型改变将是根本性的变化.故不得不引起我们去关注，据此笔者进行了如下些探索与分析.一．满足条件的多解题满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广，综合性较强，题意构思精巧，而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法——分类讨论，因此，这种题型今年不但在综合题中会有所涉及（往年常会出现），而且还规定把原来的多项选择型的第16题调整为一道“满足条件的多解”型题，对于这一调整笔者认为是进一步强调分类讨论这一思想方法考查，明确要求在复习中应加强对学生的多向思维的培养.同时也是为优化思维品质，克服思维的片面性，提高学生解题能力而出台一项具体措施.再则这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，因此我们应该熟练掌握这一题型的特征与解法.1.在非负数问题中，是正是负没有明确时，分情况讨论而产生多解例1.（2012江西样卷）已知a、b为实数，且ab≠0，那么22abab＝.评析：本例是一道典型的分类讨论题.解答时首先根据公式“2aa”把原式化为：abab，由于ab≠0即a、b都不为0，但a、b中哪个是正，哪个是负呢？所以只能分：①都是正；②都是负；③a为负，b为正；④a为正，b为负这四种情况来分别求值.答案：0、2或-22.在一列数中，已知数与未知数没有明确大小时，分情况讨论而产生多解例2.（2012江西样卷）小明等五名同学四月份参加某次数学测验（满分为120）的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为．评析：由于一列数的中位数是先按大小顺序排列后，最中间的那个数或最中间那两个数的平均值；题中x的大小有三种可能：①120≥x＞100，②80＜x≤100，③0≤x≤80，结合中位数、平均数的定义，可获得整数x值.本例抓住了x相对100和80大小可能性来分类，这种分类只要不漏掉某种情况，应该是不会出错的.答案：110或60（有一个非整数值已舍去）3.在实际问题中，某方面的情境不明确时，分情况讨论而产生多解例3.“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了元.评析：题中情境有一个不明确的地方，即是：顾客优惠后的付款是252元，那么他所购买第2页共11页的商品的实际价格是在300元以下，还是多于300元呢？于是我们应分两种情况讨论.若是享受了优惠方案（2），则商品实价为2520.9=280元；若是享受了优惠方案（3），则商品实价为2520.8=315元.像本例一样的问题，分类时，一定要按可能出现的情境来分类，否则会出现漏解现象，或者陷于无法入手的情形.答案：28或63.4..在等腰三角形问题中，腰和底没有明确时，分情况讨论而产生多解例4.已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为.评析：题目给出了条件“△ODP是等腰三角形”，但未指明在△ODP中哪两条边相等，从而需要分情况考虑.但这里分类方法有几种：如：方法1：OD、DP、OP轮流为底边，同时要注意以OD为底边时OP、PD是腰，但不会等于5，易产生错解，以OP为底边时又易漏掉一种情况.方法2：∠POD、∠ODP、∠OPD轮流为顶角，这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为5的限制，故直角是不可能，∠POD为钝角不可能，∠PDO既可以是锐角，又可以为钝角.方法3：由于腰为5，矩形的宽为4，易联想到勾3、股4、弦5，所以在OA上，在O点的右边取一点E，使OE=3，则OP=OD=5，在D点的左边取一点F，使DF=3，则OF=2，DP=OD=5，在D点的右边取一点G，使DG=3，则OG=8，DP=OD=5，这样P点坐标可直接写出.这道题告诉我们，在抓住了分类讨论的特征后，还要学会掌握分类的标准（或说方法）.而有了分类的标准，就要自始至终使用这一标准分类，同时在求满足条件的点的坐标时，画出相应的图形，使用图形分析求解也是十分必要的，还有一点值得强调的是，分类后还应注意题中约束条件，谨防出现不合要求的解或漏解现象.答案：1P（3，4），2P（2，4），3P（8，4）.5.在直角三角形问题中.直角边和斜边没有明确时，分情况讨论而产生多解例5.线段AB的两端点的坐标为A（-1，0），B（0，-2）现请你在坐标轴上找一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是直角三角形，则满足条件的P点的坐标是评析：本例思考方法类似于例4，分类的标准也有几种，其中可以分别以AB、AP、BP为斜边来确定P点的坐标.答案：如图所示，P点的坐标可为：（0，0）或（0，12）或（4，0）6.在平行四边形问题中.边和对角线没有明确时，分情况讨论而产生多解例6.（2012江西样卷）如图2，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是第3页共11页评析：题图中由于AB、BC、AC是平行四边形的边还是对角线是不确定的，因此理所当然要分情况讨论，方法显然是分别以AB、BC、AC为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分及其它相关性质易获得点D的坐标.本例是一道分类思路清晰，知识涉及较广，结构清爽的分类讨论题.答案：（－2，0）（0，－4）（4，0）7.在拼接问题中，拼接的方式没明确时，分情况讨论而产生多解例7.已知矩形的长为3，宽为1，现将四个这样的矩形用不同的方式拼成一个面积为12的大矩形，那么这个大矩形的周长是评析：本题分类的标准不太好明确，从实践操作中可发现有4种方法拼接成满足条件的大矩形，如图3：答案：26或16或14对于“满足条件的多解”题，远不止上述那些方面存在，当然也不是只有小题才有多解，在综合题中也是常有出现，并且所涉及到分类讨论那部分其特点或本质也是相同的，就是处理方法或策略也完全一样.笔者希望同学们在复习备考中掌握其技能、技巧、做到举一反三、触类旁通，努力提高自己的思维能力，培养自己的思维的条理性、缜密性、科学性.这是我们师生共同追求的目标之一.二．创新画（作）图题本题型是新增加在第三大题（原第三大题中有3小题，今年调整为共4小题）之中，也有可能放在第二大题中，这类题不但是考查对相关图形的性质掌握和合情合理的推理能力，同时也是检查相关的操作能力.1.不限工具，利用网格画出满足条件的图形例8.（2012江西样卷）如图4，在边长为1的正方形网格中画有一个圆心为O的半圆,请在网格中以O为圆心,画一个与已知半圆的半径不同,且面积相等的扇形．评析：要画扇形，首先弄清所画扇形应满足哪些条件？①圆心为O，②面积为2，③半径必须大于2，④扇形要落在网格中.根据这些要求，结合扇形面积计算公式，定能确定扇形的半径长和它的圆心角的大小，在这个探索过程中，方法为“转化”，思维是“逆向”，考查的是“知识与能力”.第4页共11页答案：2.只用单项工具，作出满足要求的图形例9.题a：（2012江西样卷）如图5，AB=AC，AD⊥BC于点D，请你在△ABC内部，仅用圆规确定E、F两点，使∠BEC=∠BFC=90°.题b：（2012江西样卷）如图6，四边形ABCD是一个等腰梯形,请直接在图中仅用直尺,准确．．画出它的对称轴.评析：本例有两个小题，题a只能用圆规作图，题b只能用直尺，这个要求是侧重对作图方法的探究考查.题a所要作的两点在以BC为直径的圆且在△ABC内部的一段弧上.要发现这一点，必须灵活运用等腰三角形和圆周角的性质定理.题b要作等腰梯形的对称轴，实际上就是作上、下底边的公共中垂线，故必须是找出两点，这两点分别到线段AD、BC的两端距离相等，具体作法如下答案图.答案3.不限工具，将一个图形按要求进行分割例10.把一个等边三角形分成四个等腰三角形，要求：1.除图a外再画出三种互不相同的分法，2.像图a一样，注明每个等腰顶角的度数.第5页共11页评析：本题初看确有一点不好入手，但只要静下心来，反复理清等边三角形的性质、判定，还是不难找到突破口，例如：应用等腰三角形的“三线合一”这个性质，把等边三角形分成两个全等的直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线，可把直角三角形分成两个等腰三角形.这不就获得一种分割方法吗？当然这个题在构造上与传统的作图不同，考查的重点是如何灵活运用相关的知识探求出怎样分割，更重要的是还要考查学生的创新能力.答案：4.不限工具，已知一部分图形按要求添画或补充图形例11..如图8是由三个小正方形组成的图形，现再给你一个同样的小正方形拼接在原图上，使原图形变为一个轴对称图形，请你分别在图a、b、c中画出不同的拼接方案，并画出对称轴.第6页共11页评析：本题要从不同角度观察图形，结合对称图形相关概念，展开想象力，找到需补充的部分.才能顺利添画对称轴，这类题目难度虽然不大，但要有一定空间想象力.答案：5.不限工具，在数轴上找出表示无理数的点例12.甲同学用如图9所示方法作出了C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．（1）C点所表示的数是；（2）仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－29的点C．评析：在甲同学的作图的启发下，先应构造一个斜边为29的直角三角形，如：OA=2，AB=5，斜边OB为29，于是在数轴上表示-29点就不难确定.这类题虽比较常见，但既体现作图原理，又有运用数形结合的思想和构造法的探索经历.答案:（1）点C表示数13．（2）．如答图：第7页共11页6.不限工具，画出图形变换后（或前）的图形例13.如图10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．评析：本题是画出变换后的图形，画图时关键是根据相应的变换性质找出对应顶点的位置.答案:如图：通过上述例举，“创新画（作）图题”中的“创新”两字.其意思是说这类题不完全是指传统的尺规作图题.“画”或“作”也不是本质，本质是放在如何“画”，怎样“作”的层面上，这类题是试题改革不断发展过程中涌现出来的又一新题型.此类题型形式多样，既灵活又简洁，可以充分考查学生的想象力和创造能力，在学生经历观察、分析、想象、推理、操作的过程中，不仅考查了学生掌握知识的情况，同时考查了学生的动手操作的能力.在另一方面还需理解的是：它既保留了尺规作图的严密的逻辑推理的要求，同时还需要结合几何推理，对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探索，这就是“创新画（作）图题”的特色之一.三．以二次函数知识为主体的二次函数综合题《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性.因此二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型，但有时只是把二次函数作为问题的背景，而真正探究的是三角形、四边形或其它些知识.所要考查的二次函数知识涉及得少之又少，因此今年对二次函数的考查角度有所调整，目的要将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来教学.1.抛物线的顶点在另一抛物线上运动而引发的相关问题的探究例14.甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f:22222yxmxmm进行探讨交流时，各第8页共11页得出一个结论.甲同学：当抛物线f经过原点时，顶点在第三象限平分