中国传统数学

-1-论中国传统数学向婷毅摘要：中国传统数学对古代人民有着重要的作用，对现代社会的发展也起着不可忽视的作用，中国传统数学体系可以称为筹算制度；主要用于社会实践中，从而实用化了，同算法化了；古代中国数学与其它古代民族的数学相比较是很值得骄傲的；现代数古代学家们从古代数学思想中汲取灵感创造新的方法。关键词：中国古代数学；数学的成就；数学的特点在世界四大文明古国中，中国数学的持续繁荣时期最为长久，作为古代科学中的一门重要的学科。在中国古代科技文化中，能够称得上独立而系统的“文化”，恐怕没有中国传统数学更具有代表性了。深入思考中国传统数学，对于促进当今中国数学甚至整个科学技术良性发展不无裨益。对以后我们在教育界得提升有很大的帮助，传统数学很有重要。1什么是中国传统数学从远古到明代，在中国独立产生和发展起来的数学知识体系，称为中国传统数学。它以筹算为基础，以算法为主，寓理于算，广泛应用。它大致经历了初创(秦汉及以前,约公元前2700年到公元前200年)、理论体系的形成(三国两晋)、缓慢发展与数学普及时期(隋唐前后)、理论的充实与发展(宋元)、衰退与转型(明及以后)五个阶段，形成了独具特色的思想体系.中国传统数学初以算筹为主要算具，从计算方法、研究方法到基本理论独具一格、自成体系，因此也简称中国传统数学为“中算”。不过，现今“中算”一词还包括用中国传统数学的手段来处理从外国引见的数学新知识和新理论。这样，“中算”包括的范围要比中国传统数学广而大,明清时期的许多数学家所做的工作大多属于这样情况。因此，中算不等于中国传统数学,中算家也不一定是中国传统数学家。2中国传统数学的特点中国传统数学重应用与计算，其成果往往以算法的形式表达，思维方式是构造性和机械化的，这正好切合计算机出现以后的时代要还求。中国古算的传统特点与其思想体系，对未来数学的发展应起巨大的指导与推动作用。另外，中国自战国时期起使用筹算，宋元时代发明珠算以后，以珠算代替筹算，笔算是17世纪初从外国传进来的，所以要了解中国传统数学应该了解中国的筹算和珠算。中国古代数学与天文、历法紧密相联，不少数学家也是天文学家。综合中国传统数学具有明显的算法化、模型化、程序化、机械化等特征以及如下特点：-2-（1）属于应用数学。中国数学具有浓郁应用色彩，赵爽证明勾股定理后，便用来取某些与历法相关的一元二次方程的跟；祖冲之之所以偏爱用约率和密率来表示圆周率，目的是为了准确地计算闰年的周期，而秦九韶的大衍术（中国剩余定理）主要用来上元积年得推算，这可以帮助确定知回归年，朔望月等天文常数等等类似例子在中国古代数学著作中非常多，都是与社会生活和生产密切相关而又普遍存在的问题，从以上这些可以说明，中国数学不脱离社会生活与生产的实际，以解决实际问题为目标，数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的。（2）以算法为中心。中国传统数学有着强烈的算法精神，在进行理论建设时常以算法作为考虑问题的基本出发点，力图建立以题解为中心的算法体系。故着重算法的概括，不讲究命题的形式推导。从生活和生产中提出问题，然后用一般性的计算方法解决问题。如《九章算术》中的消元法，虽然问题的提出具体到特殊的“上中下禾实一秉各几何”，但是它的解题方法可以解一般性的方程。（3）具有较强的社会性。中国传统数学文化中，数学被儒学家培养人的道德与技能的基本知识---六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，它的作用在于“通神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印，往往与术数交织在一起。同时，数学教育与研究往往被封建政府所控制，唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员，这些事例充分反映了这一性质。（4）寓理于算，理论高度概括。由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳思维的决定，所以中国传统数学不关心数学理论的形式化，但这并不意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树。其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础，中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，如平面几何中的“出入相补”原理、曲面体理论中的“截面原理”等等。但是中国古代数学有一个缺点是：缺少严格求证的思想，为数学而数学的情形极为罕见；如，规矩和欧几里得作图法的差异。3中国传统数学的成就中国是世界上四大文明古国之一，中国的四大发明对世界文化的发展，世界的进步作出过重大贡献，中国的传统数学同样也对世界数学作出过重大贡献，古代中国数学与其它古代民族的数学相比较是很值得骄傲的。（1）商代已经有了完整的十进位值制计数法，这是世界上最早的也是最好的计数法。它便于进行四则运算、学习、普及和应用英国科技史家李约瑟说：“如果没有这种十进位制，-3-就几乎不可能出现我们现在这样统一化的；这与古埃及的累数字计算法、古巴比伦的六十位值制计算法更加方便很多。马克思说过：“这是最妙的发明之一。”如果没有这种十进位值制，数学不可能发展到今日的水平。（2）《九章算术》中的解题方法具有普遍性，一种方法可以解决一类或几类问题，不象古希腊丢番图（约公元3世纪）的《算术》中对问题的解法依靠高度的技巧，缺乏一般性。我国古代最伟大的两数学家刘徽，在世界数学史上占有光辉的地位。他于公元263年撰《九章算术注》，书中有刘微本人的许多创造。其最大的贡献是“割圆术”。这一创造开辟了中国数学发展的新纪元。在他之前人们常以3作为圆周率。他为了科学地计算圆周率的近似值，提出了“割圆术”。他从圆内接正六边形开始，依次将边数加倍，边数扩大得越多，所得到的正多边形和圆的面积差距就越小，即刘徽所谓的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”用今日的话说，圆的面积是圆内接正多边形面积序列的极限，也就是说刘徽已有了极限的思想。刘徽在此还构造了三个公式，利用这三个公式可以由内接正n边形的边长，算出内接正2n边形的边长和面积，还可以得到圆面积的上、下界，这比阿基米德同时使用内接、外切正多边形来得简便。刘徽对体积理论也很有贡献。刘徽利用他所谓的“出入相补”原理和两种无限小方法（极限方法和不可分量法）算出了许多立体的体积。为了计算球的体积，刘徽设计了“牟合方盖”，可惜的是他没有能最终解决这一问题，他说将这一问题留给后来的能人去解决。刘徽著《海岛算经》，发展了我国古代天文测量中的“重差术”。中国古代另一伟大数学家祖冲之创制了一部《大明历》，是当时最好的历法书。他采用了391年加144个闰月的精密的新闰周，突破沿袭很久额的19年7闰的传统方法，是天文历法史上的一个重大的进步。他对数学的最大贡献是他计算出精度较高的圆周率的近似值和计算体积的“祖氏原理”。祖冲之沿用了刘徽的“割圆术”算出3．1415926pi3.1415927。祖冲之还在上述圆周率的基础上得出了二个圆周率的分数形式：约率为22/7，密率为355/113，密率后人称之为“祖率”。密率是将p表成连分数，其渐近分数列的第4项，它是分子，分母不超过1000的分数中最接近p值的分数。祖冲之圆周率的精度在1千年内无人超过，直到1585年德国人奥托和荷兰人安托尼斯才重新获得。值得一提的是祖冲之利用筹算从正6边形算到正24576边形这需要花费多少心血，付出多么艰辛的劳动！祖冲之和他的儿子祖日恒提出了计算体积的祖氏原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两等高立体，若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个立体体积相等。若将立体改为平面图形，将截面面积改为截线长，这一原理也适用面积的计算。1635年意大利数学家卡瓦列-4-利重新独立发现这一原理，所以在西方文献中称为“卡瓦列利原理”。这一原理对积分学的创立起了很大作用。祖冲之父子利用这个原理和“出入相补”原理，计算出许多立体的体积，他们完成了刘徽未竟的事业，利用“牟合方盖”得到了球的体积公式。祖冲之还造过“千里船”、重造“指南车”，并写过小说《述异记》。《九章算术》是中国古代数学的代表作，全书共246个问题，分为九章。该书成书的时间应不迟于公元前1世纪。书中的不少成果当时在世界上是领先的，如：分数四则运算法则：包括加、减、乘、除以及约分、通分运算法则。正、负数及运算法则，书中称为“正负术”。最早引入负数，提出了正、负数的加、减运算法则。到7世纪印度数学家才开始使用负数，在欧洲，直到18世纪初对负数还存在疑虑与争论。“盈不足术”是一种解决较复杂的算术问题的“双设法”，在中世纪的阿拉伯著作中称为“契丹算法”，即“中国算法”。因为那时有的国家称中国为契丹。特别是线性方程组的解法类似于近代数学中的“高斯消元法”，是世界数学史上一颗耀眼的明珠。“开方术”和“开立方术”给出了开平方和开立方的方法，实际上已有了二次方程baxx=+2的数值解法，称之为“开带从平方法”。该书将几何问题代数化，如“勾股章”中有许多应用勾股定理和相似三角形对应边成比例定理，将几何问题化为一个代数方程来求解。（3）《周髀算经》是现存的中国古代数学著作中最早的一部，成书年代应不晚于公元前2世纪，公元3世纪三国时期的赵爽在《周髀算经》注中作“勾股圆方图”，巧妙而简洁地证明了勾股定理。以及杨辉三角这是一种非常有效的高度机械化的算法，可以用来开任意次方，与现代通称的“霍纳算法”（1819年）基本一致。我国是最早研究“内插法”的国家之一。它是由天文观测和历法编写的需要而产生的。早在东汉时期（公元25—220年），刘洪编《乾象历》时使用了一次内插公式。刘焯在公元600年编《皇极历》时使用了二次内插公式。张遂在公元727年编《大衍历》时使用了二次不等距的内插公式。郭守敬等人在1280年编《授时历》时，用到了三次内插公式。最先获得一般高次内插公式的是我国杰出的数学家朱世杰（公元13、14世纪人）。他于1303年《著四元玉鉴》，这本书标致了宋元数学的又一高峰。书中突出的贡献有：（一）高次内插法，书中称之为“招差术”，朱世杰得到的一个四次招差公式，在形式上已与现在通用的格利高里—牛顿公式一致。（二）对高阶等差级数的研究。高阶等差级数的研究在我国始于北宋时的沈括（1031——1095），这是一位博学多才的科学家、数学家。他在《梦溪笔谈》中，得到了长方台形垛积的求积公式，南宋的大数学家杨辉也得到了一些高阶等差级数的求各公式。朱世杰获得了系统的普遍的结果。（三）李冶（公元1192—1279年）提出“天元术”，用以列解一元高次方程，而朱世杰提出“四元术”，用以列解四元高次方程组，朱世杰在《四元玉鉴》中使用了多种消元方法来解高次-5-方程组。到了明清时期中国传统数学珠算有了很大发展，应用日益广泛。在如今人们仍在使用珠算。中国传统数学源远流长，成就辉煌，呈现出鲜明的“东方数学”色彩，对于世界数学发展的历史进程有着深远的影响，它曾经出现的辉煌是我们国人的骄傲。4现代社会中的中国传统数学随着世界的发展，传统数学数学得到发展和应用。由于在其发展的早期主要是作为一种实用的技术或工具，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其它生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了人文科学领域，并在当代使人文科学的数学化成为一种强大的趋势。时至今日，可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。数学在现代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。人们可以把数学对我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用。事实上可以说，我们大家都生活在数学的时代--我们的文化已经数学化。在世界数学文化传统中，以欧几里得《几何原本》为代表的希腊数学，无疑是西方演绎数学传统的基础，而以《九章算术》为代表的中国数学无疑是东方算法化数学传统的基础，它们