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200926．（本小题满分13分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．26．解：（1）该抛物线过点(02)C，，可设该抛物线的解析式为22yaxbx．将(40)A，，(10)B，代入，得1642020abab.，解得1252ab.，此抛物线的解析式为215222yxx．················································（3分）（2）存在．····························································································（4分）如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为215222mm，当14m时，4AMm，215222PMmm．又90COAPMA°，①当21AMAOPMOC时，APMACO△∽△，即21542222mmm．解得1224mm，（舍去），(21)P，．····················································（6分）OxyABC412（第26题图）DPMEOxyABC412（第26题图）②当12AMOCPMOA时，APMCAO△∽△，即2152(4)222mmm．解得14m，25m（均不合题意，舍去）当14m时，(21)P，．······································································（7分）类似地可求出当4m时，(52)P，．························································（8分）当1m时，(314)P，．综上所述，符合条件的点P为(21)，或(52)，或(314)，．·························（9分）（3）如图，设D点的横坐标为(04)tt，则D点的纵坐标为215222tt．过D作y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为122yx．···········································（10分）E点的坐标为122tt，．2215112222222DEttttt．········································（11分）22211244(2)422DACSttttt△．当2t时，DAC△面积最大．(21)D，．··························································································（13分）201126、（2011•临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平方，可以求出点D的坐标；（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．解答：解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得．故抛物线的解析式为y=x2+2x；（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，∴D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）；②当AO为对角线时，则DE与AO互相平方，因为点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；（3）存在，如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形．假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）．当x=时，y=，即P（，）．②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．201226．（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；分类讨论。解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，xyAOCB（第26题图）xyAOCB（第26题图）'NPNMH'M解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），201326、如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2ABC三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.2yaxbxc，26.解：（1）设抛物线的解析式为根据题意，得0,2550,5.2abcabcc，解得1,22,5.2abc∴抛物线的解析式为：2152.22yxx………(3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求.设直线BC的解析式为ykxb，由题意，得50,5.2kbb解得1,25.2kb∴直线BC的解析式为15.22yx…………(6分)∵抛物线215222yxx的对称轴是2x，∴当2x时，153.222yx∴点P的坐标是3(2,)2.…………(7分)（3）存在…………………………(8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为5(0,)2，∴点N的坐标为5(4,).2………………………(11分)（II）当存在的点'N在x轴上方时，如图所示，作'NHx轴于点H，∵四边形''ACMN是平行四边形，∴'''',ACMNNMHCAO,∴Rt△CAO≌Rt△''NMH,∴'NHOC.∵点C的坐标为'55(0,),22NH,即N点的纵坐标为52，∴21552,222xx即24100xx解得12214,214.xx∴点'N的坐标为5(214,)2和5(214,)2.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为5(4,).2，5(214,)2，5(214,)2………………………(13分)同情的眼神很多年以前的一个寒夜，在弗吉尼亚州北部，一个老人等在渡口准备乘船过河，寒冷的冬季霜雪已使他的胡子像上了一层釉。看来他的等待似乎是徒劳的，寒冷的北风把他的身体冻得麻木和僵硬了。突然，沿着冰冻的羊肠小道上由远而近传来了有节奏的马蹄声，他怀着焦急的心情，打量着几个骑马的人依次从他身边过去。待最后一个骑手经过他时，老人站在雪中僵直得像一尊雕像，就在将要擦身而过的一瞬间，老人突然看着那人的眼睛说：“先生，您能否让一个老人和您乘一匹马共行？你知道，单凭用脚走，人是很难通过这一段路的。”骑者勒住了自己的马，回答：“确实是这样，上来吧！”看见老人根本无法移动他那冻得半僵的身体，骑手跳下马来帮助老人上了马，骑手不仅把老人驮过河，而且送他到他要去的地方，尽管那里有数英里远。当他们走近一座小而舒适的村舍时，骑手好奇地问道：“先生，我注意到您让其他几个人过去而没有请求帮助，而当我经过时您却留住我借用我的马，我很奇怪这是为什么？在如此一个寒冷的冬夜，您却等待在这里并截住最后一个骑手，如果我拒绝您的要求并把您留在那里，结果会是什么？”老人慢慢下了马，以一种惊奇的目光看着骑手，回答说：“我已经在这里等了一些时间，但我以为我知道谁更有美好的品德，”老人继续道，“我仔细观察了那几位骑手，立即便看出他们没有关心我的处境，这时候就是我求他们帮忙也无济于事。但是当我仔细一看您的眼睛，仁慈和同情之状是相当明显的。我知道，当时当地，您的友好态度使我得到了这样一个机会，使我在最需要的时候能够得到帮助。”那些暖人肺腑的评价深深地触动了骑手，“您的评价把我形容得太伟大了，”他告诉老人，“可能我以前在从事自己的事情上过于忙碌，所以我对别人需要安慰和伶悯的帮助太少了。”说完这些，那名骑手——托马斯·杰斐逊总统调转马头，踏上了通往白宫的路。马戏团①当我还是个少年的时候，父亲曾带着我排队买票看马戏。排了老半天，终于在我们和售票口之间只隔着一个家庭，这个家庭让我印象深刻：他们有8个在12岁以下的小孩。他们穿着便宜的衣服，看来虽然没有什么钱，但全身干干净净的，举止很乖巧。排队时，他们两个两个成一排，手牵手跟在父母的身后。他们很兴奋地叽叽喳喳谈论看小丑、大象，今晚肯定是这些孩子们生活中最快乐的时刻了。②他们的父亲神气地站在一排人的最前端。这个母亲挽着父亲的手，看着她的丈夫，好像在说：“你真像个佩着光荣勋章的骑士。”而沐浴在骄傲中的他也微笑着，凝视着他的妻子，好像在回答：“没错，我就是你说的那个样子。”③卖票的女郎问这个父亲，他要多少张票？他神气地回答：“请给我8张小孩的两张大人的，我带全