乘法公式培优专题2

现在出发，准备好了吗？提问开始，你们都要回答。跟上节奏，启动查克拉。AREYOUREADY？LET‘SGO！初中数学竞赛专题——乘法公式石狮一中黄约翰一、内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5.由公式的推广③可知：当n为正整数时an－bn能被（a－b）整除,a2n+1+b2n+1能被（a+b）整除,a2n－b2n能被（a+b）及（a－b）整除。1.填空：①a2+b2=(a+b)2－_____②(a+b)2=(a－b)2+__③a3+b3=(a+b)3－3ab(_)④a4+b4=(a2+b2)2－__⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－____⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－___2.填空：①(x+y)(___________)=x4－y4②(x－y)(________)=x4－y4③(x+y)(___________)=x5+y5④（x－y）(________)=x5－y53.口算：①552=②652=③752=④852=⑤952=4.计算下列各题，你发现什么规律⑥11×19=⑦22×28=⑧34×36=⑨43×47=⑩76×74=5.已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是。6.已知(2013)(2011)2012xx，那么22(2013)(2011)xx=。7.计算：2485(61)(61)(61)(61)1=。8.已知,xy满足2226210xyxy，则代数式xyxy=。9.已知13aa，则4221aaa=。10.已知3,5abac，则代数式2acbcaab=。11.若222,4xyxy，则20022002xy=。12.若21310xx，则441xx的个位数是。13.222246140xyzxyz，则xyz=。14.如果正整数,xy满足方程2264xy，则这样的正整数对(,)xy的个数是。15已知20131,20132,20133axbxcx，则222abcabbcca=。16.计算：22221111(1)(1)(1)(1)231999200017.已知x+x1=3,求①x2+21x②x3+31x③x4+41x的值18.化简：①（a+b）2(a－b)2②(a+b)(a2－ab+b2)③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2)④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)19.己知a+b=1,求证：a3+b3－3ab=120.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值21.求证：233＋1能被9整除22.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方23．设.1ba,222ba求77ba的值．