中国石油大学(华东)概率论2011-2012期末试卷答案及评分标准

2011—2012学年第一学期《概率论与数理统计》试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2012年1月3号页码一二三四五六七总分满分20151020121310100得分阅卷人备注：1．本试卷正文共7页；2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4．最后附页不得私自撕下，否则作废.5．可能用到的数值(1.645)0.95，(1.96)0.975Ａ卷第1页共7页一、填空题（每空1分，共10分）1.设()0.4,()0.7PAPAB，那么若,AB互不相容，则()PB0.3；若,AB相互独立，则()PB0.5.2.设事件,AB满足：1(|)(|)3PBAPBA，1()3PA，则()PB=__5/9___.3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为0.6；第三次才取得正品的概率为0.1.4.设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max(,)2}PXY4/9.5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为0.5，均方差为0.45.6.设总体12~(),,,,nXPXXX为来自X的一个简单随机样本，X为样本均值，则EX=，DX=n.二、选择题(每题2分，共10分)1.设(),(),()PAaPBbPABc，则()PAB等于(B).(A)ab(B)cb(C)(1)ab(D)ba2.设随机变量X的概率密度为()fx，且()()fxfx，()Fx是X的分布函数，则对任意实数a有(B).(A)0()1()aFafxdx(B)01()()2aFafxdx(C)()()FaFa(D)()2()1FaFa3.设6)(),1,2(~),9,2(~XYENYNX，则)(YXD之值为(B).(A)14(B)6(C)12(D)44.设随机变量X的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|EXXP(C).(A)25.0(B)75.0(C)75.0(D)25.05.维纳过程是(A).(A)连续型随机过程(B)连续型随机序列(C)离散型随机过程(D)离散型随机序列本页共20分得分第2页共7页2三、计算题(共6个题目，共45分)1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？解：设12;AA分为来自甲乙箱；B为正品（1）14113()()25220PB（5分）（2）11251()2/77/20PAB（10分）2.(5分)已知某种电子元件的寿命X（以小时计）服从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？解：110001110001000{1000}xPXedxe（4分）于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为5e（5分）本页共15分得分第3页共7页33.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数数器,()Nt表示在[0,]t内到达计数器的粒子个数,试求：(1)()Nt的均值、方差、自相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.解：()4;()4;()()164min{,}ENttDNttENsNtstst（各一分，共三分）（2）平均间隔为1/4分钟（5分）4.(5分)设总体2~(,)XN的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求的置信度为0.95的置信区间(写出过程).解：由题知~(0,1)/XNn（2分）于是由0.9751.96U知置信区间为（4.804,5.196）（5分）本页共10分得分第4页共7页45.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0nXn表示第n个时刻质点所处的位置，初始分布为1(0),1,2,33PXii.求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵；(2)(0)1,(1)2,(2)3PXXX；(3)(2)2PX.解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3（4分）（2）原式=1133119（7分）（3）原式=7111339313()27（10分）6.(10分)设随机变量X的概率密度为，其他，02)(bxaxxf，且12EX.求：(1)ba,的值；(2)}1{XP.解：由2212baxdxba；23441212()baEXxdxba解得3122;ab（6分）（2）原式=11/221/2xdx（10分）本页共20分得分第5页共7页5四、（12分）设随机向量(,)XY的概率密度为(2),0,0(,)0,xyAexyfxy其他求:(1)常数A；(2)关于XY、的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立；(3)2ZXY的概率密度.解：（1）(2)001/2;2xyAeAA（2分）（2）(2)02(2)00()20020()200xxyXyxyYexfxedyxeyfyedxy（7分）显然，独立（8分）（3）(2)210()2000()00zzxyZxyzzZezezFzedxdyzzezfzz（12分）本页共12分得分第6页共7页6五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度22()34,0,0,()0,0.xxexfxx123,,,,nXXXX为X的简单随机样本,求：(1)未知参数的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为的无偏估计.解：（1）23()3042xxEXedxXˆ2X（5分）21211232()(,)(4)niiXnniiLfxxe2211ln3lnln(^^^niiLnX不含）23132ln/0niindLdX212ˆ3nMLEiiXn(10分)（2）2ˆ22EEX无偏（13分）本页共13分得分第7页共7页7六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数.求X的分布律、分布函数、数学期望和方差.解：由题知，25~(3,)XB分布律332355{}()();;;;0,1,2,3kkkPXkCk（4分）分布函数27125811251171250001()122313xxFxxxx（6分）6/5;18/25EXnpDXnpq（10分）本页共10分得分