搜索
第页1第二章二次函数中考要求1、了解二次函数的概念，能区分二次函数与一次函数即反比例函数，能用待定系数法求二次函数解析式2、了解三类二次函数图像之间的关系，能根据函数解析式的关系得到图像之间的平移关系，或根据图像间的关系确定函数解析式3、由函数解析式会确定其图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（最小）值、增减性等4、掌握二次函数图像的性质，能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质5、学会确定二次函数解析式及其最值，能解决二次函数中的最值问题6、会利用二次函数的图像求相应二次方程的解或近似解7、会根据二次函数及图像性质，结合三角形、四边形等图形的有关性质，解决综合性问题二次函数的图像和性质考点概括聚焦1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。限制条件（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。离开它用一般形式也可以。（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx。（4）对称点式：，其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。注意：①当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。这个交点是抛物线的什么点？②是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？③利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h=；k=当Δ=b2-4ac时，才有两根式。3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作第页2用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。（1）形状----开口大小。由决定，越大，开口越。（2）开口方向：由决定。当a0时，函数开口方向向；当a0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x=；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。例如：Y=2x2-4X+1当X=42=-2时，Y=，顶点坐标为（，）可见，必须记住顶点横坐标公式。顶点纵坐标公式记不住也没有关系。（5）增减性：分对称轴左右两侧描述。当a0时，在对称轴左侧，即x时，y随着x的增大而；在对称轴右侧，即x时，y随着x的增大而；当a0时，在对称轴左侧，即x时，y随着x的增大而；在对称轴右侧，即x时，y随着x的增大而；（6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内①若顶点横坐标在自变量的取值范围内当a0时，函数有最值，并且当x=时，y最小值=；当a0时，函数有最值，并且当x=，y最大值=；并且考虑在端点处是否取得最值。②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。（7）y=ax2+bx+c与坐标轴的交点①与X轴的交点求法：解方程，其求根公式是。个数：当Δ=b2-4ac0时，抛物线与X轴有两个不同的交点；Δ=b2-4ac0时，抛物线与X轴没有交点；Δ=b2-4ac0时；抛物线与X轴只有一个交点，即顶点在轴上。②与Y轴的交点：（，）（8）函数值的正、负性：如图1：当x＜x1或x＞x2时，y0；当x1＜x＜x2时，y0；当x=x1或x=x2时，y0。第页3如图2：当x1＜x＜x2时，y0；当x＜x1或x＞x2时，y0；当x=x1或x=x2时，y0.(9)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），则二次函数图象与X轴的交点之间的距离AB=22121xxxx=212214xxxx(10)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c及其代数式的符号判别：①a的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a0；当开口向下时，a0；②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c0；若交点在X轴的下方，则C0；③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，由ab20知a、b同号；若对称轴在Y轴的右侧，由ab20知a、b异号。（11）缺项二次函数的特征①抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上时抛物线关于轴对称，=0；解析式为。②抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则=0；解析式为。③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点在原点，则b=c=，解析式为。（12）抛物线的平移和轴对称无论b，c值为多少，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。抛物线y=ax2+bx+C上（下）平移n（n＞0）个单位后的解析式：将原解析式中的不变，把转换为；左（右）平移n（n＞0）个单位后的解析式：将原解析式中的不变，把转换为。抛物线y=ax2+bx+c关于X轴对称的抛物线解析式是（将原解析式中的不变，把转换为，再整理）抛物线y=ax2+bx+c关于Y轴对称的抛物线解析式是（将原解析式中的不变，把转换为，再整理）第页4小结：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）待定系数a,b,c的作用（1）a:a的符号决定；a的绝对值决定（2）c决定抛物线与轴交点的位置。（3）b单独不能起什么作用。根据ab2，a，b共同决定抛物线对称轴的位置；Δ=b2-4ac决定：4、二次函数的解析式的求法----待定常数法三种基本情况（1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用式。（2）已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；（3）已知抛物线与X轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。注意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。5.二次函数图象的画法画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一般步骤（1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标；（2）利用抛物线的性列表；（3）先画对称轴，再对称描点连线。实际上，我们解题时只需画抛物线的草图。画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。6.二次函数与一元二次方程的关系（1）从形式来看，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=时，得一元二次方程ax2+bx+c=0。从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特殊状态；（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与X轴的交点情况正好由一元二次方程ax2+bx+c=0的决定；（3）一般地，一元二次方程ax2+bx+c=K（a≠0）的根可以看成是直线y=与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点坐标。也就是说解方程组与解方程ax2+bx+c=K（a≠0）是等价的。7．二次函数的应用二次函数的应用主要是最值问题和求某一点的坐标问题，而求二次函数的解析式是最基本的问题。利用二次函数求最值的一般步骤：（1）引入自变量和因变量第页5（2）根据实际问题的数量关系列中间变量的代数式，建立函数关系式，根据中间变量的代数式的取值范围，列不等式（组），求出自变量的取值范围（3）利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标，判断顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。①若顶点横坐标在自变量的取值范围内当a0时，函数有最值，并且当x=时，y最小值=；当a0时，函数有最值，并且当x=，y最大值=；并且考虑在端点处是否取得最值。②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。第一讲二次函数学习目标1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质2、会建立简单二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围3、会用待定系数法求二次函数的解析式练习1、判断下列函数哪些是二次函数①y=-8x2②S=12gt2+2t(g是常数)③S=πx2-1④y=mx2+kx-2⑤y=4x22、当m为何值时，y=(m-3)232mmx是二次函数？3、已知二次函数y=x2+bx+c中，当x=1时，函数值为2；当x=2时，函数值为3.求此函数解析式，并写出二次项、一次项系数及常数项4、已知一个圆的半径为1,若半径增加x，则面积增加y，求y与x的函数关系式；要使圆的面积增加8π，那么半径应增加多少？5、如图在长为6米，宽为5米的客厅里，铺上一块地毯，四周留空的宽度相同，则地毯面积S与留空宽度x的函数关系式是6、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,且a+b=16.设Rt△ABC的面积为S，求：（1）S与a的函数关系式和自变量a的取值范围；（2）当S=32时，求a的值.xx第页67、如图在正方形ABCD中，AB=4，点E是BC上一点，点Ｆ是ＣＤ上一点，且ＡＥ＝ＡＦ．设△ＡＥＦ的面积为ｙ，ＥＣ＝ｘ（１）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（２）当△AEF的面积S=72时，求CF的长度第二讲二次函数的图像（1）学习目标1、会用描点法画函数y=ax2（a≠0）的图像(注意方法：列表、描点、连线)2、掌握y=ax2（a≠0）型二次函数图像的特征（形状、开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大最小值）3、会根据函数关系式确定图像练习1、写出函数y=x2分别与y=―x2和y=―2x2的图像的相同点和不同点（从学习目标2的几个方面去说）2、已知抛物线y=(a―1)x2,当x0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围3、已知函数y=ax2与直线y=2x―3的图像交于点（1，b）.(1)求a,b的值(2)求抛物线的开口方向、对称轴4、某校的围墙上端由一段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图，其拱形图为抛物线的一部分，拱高为0.6米，在栅栏的跨径AB间用5根立柱加固，且间距均为0.2米.(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上数据求出抛物线y=ax2的解析式;(2)计算一段栅栏所需立柱的总厂度（结果精确到0.1米）FEDCBABACO第页75、一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离y(m)与时间x（s）的数据如下表所示：(1)画出y关于x的函数图像；(2)求出y关于x的函数解析式.6、已知函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3的图像交于点A（1，b）.求两函数图像另一交点B的坐标7、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，桥下水面宽为20m,拱顶距水面4m,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升hm时，桥下水面的宽度为dm,求出h关于d的函数解析式；(3)在正常水位上升时，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水位上升超过正常水位多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？时间x(s)01234…距离y(m)0281832…yxO4m20m第页8第三讲二次函数的图像（2）学习目标1、了解y=ax2,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+k三类函数图像之间的关系，（初步了解他们的性质）2、理解函数图像平移的意义3、会从图像之间平移变换的角度认识y=a(x+m)2+k型二次函数的图像特征练习1、叙述函数y=ax2与函数y=a(x+m)2+k的图像的关系与性质（y=a(x+m)2+k的图像可由y=ax2的图像先向右（m0）或向左（m0）平移|m|个单位，再向上（k0或向下（k0）平移|k|个单位得到，顶点是（―m,k）,对称