九年级数学竞赛第02讲无理方程的解法

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第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程),这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种.解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解,在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有:乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等.本讲将通过例题来说明这些方法的运用.例1解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2+3x-28=0,所以x1=4,x2=-7.经检验知,x2=-7为增根,所以原方程的根为x=4.说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程,往往会产生增根,应注意验根.例2解方程方公式将方程的左端配方.将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x+x2,两边平方得3x2+x=x2+6x+9,例3解方程即所以移项得例4解方程解三个未知量、一个方程,要有确定的解,则方程的结构必然是极其特殊的.将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以x=1,y=2,z=3.经检验,x=1,y=2,z=3是原方程的根.例5解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2+2xy-8=0,(xy+4)(xy-2)=0.xy=2.③例6解方程解观察到题中两个根号的平方差是13,即②÷①便得由①,③得例7解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2).设则u2-v2=w2-t2,①u+v=w+t.②因为u+v=w+t=0无解,所以①÷②得u-v=w-t.③②+③得u=w,即解得x=-2.经检验,x=-2是原方程的根.例8解方程整理得y3-1=(1-y)2,即(y-1)(y2+2)=0.解得y=1,即x=-1.经检验知,x=-1是原方程的根.整理得y3-2y2+3y=0.解得y=0,从而x=-1.例9解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同,则可用合分比定理化简方程.根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2.解得x=±2a.经检验,x=±2a是原方程的根.练习二1.填空:2.解方程3.解方程4.解方程5.解方程6.解关于x的方程

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