习题十二二重积分的概念与性质(2012)河海大学高数习题答案

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习题十二二重积分的概念与性质一、比较下列各对积分值的大小,并说明理由。(1)解:区域D为:1,0,0|),(yxyxyxD,故当Dyx),(时,有2)()(yxyx,从而有Ddyx)(Ddyx2)(。(2)解:区域D位于1yx上方,故当Dyx),(时,1yx,从而2)()(yxyx,故Ddyx)(Ddyx2)((3)解:当Dyx),(时,21yx,从而1)ln(0yx,故2)][ln()ln(yxyx,所以Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(。(4)解:区域D位于直线eyx的上方,故当Dyx),(时,eyx,从而1)ln(yx,所以2)][ln()ln(yxyx,有Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(。二、利用二重积分的性质估计下列积分值:(1)0,2;(2)36,100;(3)51100,2。三、解:Ddyx613111121)1(,211121,31),(f。四、证明:显然DD,因为),(yxf在D上连续,所以),(yxf在D上也连续。由积分中值定理知,至少存在一点D),(使得Dffdyxf),(),(),(且当,时,有)0,0(),(,Dffdyxf)0,0(),(lim),(1lim0000。

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