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1第一章数学的起源与发展一、世界数学史简编根据数学发展的对象、特征以及对这些问题的看法分为5个时期，①数学萌芽时期；②初等数学时期(或称常量数学时期)；③变量数学时期；④近代数学时期；⑤现代数学时期．二、数学萌芽时期年代:公元前600年以前．数学的对象：是社会生活和农业生产上的实际计算和测量的问题．主要发明创造：中国、埃及、巴比伦、印度是世界文明发达最早的国家．在数学上这些国家有许多伟大的成就．中国：汉朝的一本书周髀记载有西周开国时期(公元前1000年)用矩(两条互相垂直的尺，)来测量的方法，书中还记载有直角三角形的“勾三、股四、弦五”的边长关系．公元前4世纪成书的墨经记载有大量的几何定义，如经上：“平，同高也．”(用两条(个)每处距离相等的直线(平面)定义平行线(面)；庄子一书中“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的极限思想也是很著名的．埃及，几何学起源于尼罗河的泛滥后的土地重新测量．古埃及的数学反映金字塔．古埃及的数学还反映在两本纸草书中．一是莱茵特纸草书，内有算术、几何、杂题共85个题目．一是莫斯科纸草书(莫斯科博物馆所有)，载有25个问题．这是埃及数学一个最光辉的成就．巴比伦，公元前600多年，就测定了五大行星的周期，并发现了驰名古今的预测日、月食的“沙罗周期”．据此推算，一个星期有7日，全圆周分为360度，每度60分，每分60秒；一小时60分，每分60秒．这是天文学方面的伟大贡献。巴比伦人建立了60进位制记数法．数学发展的特点(1)数学研究的对象是客观世界实际事物中的数量和图形，就是初步的算术和几何的计算知识；算术和几何结合在一起研究．(2)数学概念的形成比较缓慢，数学知识是片断的、零碎的，缺乏逻辑因素，没有形成严谨的科学体系．(3)已逐步出现了一些数学概念和抽象的数学符号，产生了具有一定关系和规律的数学系统——算术．2(4)为建立抽象的数学理论学科，从思想和方法上积累了丰富的素材．三、常量数学时期（初等数学时期）．年代:公元前5世纪到公元17世纪初．数学的对象：客观事物在相对静止的状态下保持不变的数量和图形．(常量)．主要发明创造:这个时期数学发展的基本内容可分为几何的和代数的两部分．希腊在几何发展方面有突出的贡献．早在公元前5世纪就出现了对几何系统阐述．欧几里得(Eudid，公元前330～前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287一前212)、阿波洛尼斯(apollonins，公元前260～前170)等都是当时的著名数学家．欧几里得的《原本》(中国初译为《几何原本》是这个时期的重大贡献，它是从经验数学到理论数学的标志．《原本》共13篇，包括467个命题．第一至第四篇是讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲比例论；第六篇讲相似形；第七、八、九篇讲数论；第十篇讲不可公度量的分类；第十一、十二、十三篇讲立体几何及穷竭法．该书系统地论述了初等几何的科学内容和代数的一些重要成果．突出的是，《原本》以一些概念的描述及一些公设、公理为基础，定义了其他概念并采用演绎的方法推导出其他的命题．这样就把几何的零碎知识整理成为演绎的数学体系，首创了数学公理化方法．对数学的发展起了促进的作用．中国数学带有东方特色——具有经验性质．《九章算术》是这个时期一本杰出数学著作，公元450年成书的《孙子算经》中提出“物不知数”问题及解法，这是世界最早提出来的联立一次同余式问题，其解法被称为“中国剩余定理”．贾宪(公元11世纪)提出二项式定理系数表(即贾宪三角)和开立方的方法．阿拉伯数学在代数学方面表现突出，阿尔·花拉子米(Al-Khowarizmi，约780—850)在820年左右著了一本《代数学》，把代数视为“还原与对消的科学”．刘徽在九章算术注中建立了分数运算理论，阐明了正负数运算法则，开方运算性质和创造十进分数用来无限逼近无理数的做法，事实上完成了实数系统和建立数的运算理论．在公元268年左右，印度人也提出负数四则运算．早在公元前5世纪，希腊的毕达哥拉斯学派在研究数的性质方面有许多成就，在几何方面知道了平行线理论、相似理论和一些重要定理．其成员希帕索斯(Hippasus，约公元前500年)发现单位正方形的对角线不能用任何数(当时只知道有理数)来表示．由此，发现了不可约的几何量．这是无理数产生的客观来源．复数也是由于解方程出现矛盾而提出来的．意大利的卡当著的重要的艺术一书中解方程x(10－x)=40得515x．他认为不管15的意义怎样，所得结果都是对的．他把这种数称为“虚伪的数”．后来意大利的邦别利(Bombelli1526~1572)解三次方程都用了复数，而且规定了复数的四则运算法则．3“三角学”一词来自希腊文(三角形)与(测量)，原意是三角形的测量，也就是解三角形．在公元前2世纪，希腊的天文学家依巴谷首创“弦表”，就是在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，这就是正弦函数表的雏形．托勒密继承依巴谷的成就，从“托勒密定理”可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，梅内劳斯)写的球面论着重讨论球面三角问题．到了15世纪，德国的里基奥蒙田纳斯著的《论一般三角形》出版后，才使三角学脱离天文学而成为一个独立的科目．此外，阿基米德被称为“数学的神”，他在天文、力学、数学获得高度成就．例如，他求得21nkk的值，解决了相当于3220xaxb的三次方程和2247294941xy的二次不定方程(由他的“群牛问题”引出)，并提出了著名的“阿基米德螺线”等．丢番图(Diophamus，约246～330)，被誉为代数学的鼻祖，他的算术讲数的理论，完全脱离了几何形式，可与几何原本比高下。对数是资本主义发展初期的产物．纳皮尔(JohnNapier，1550-1617)造对数表，是一项伟大的发明，他的方法实质上给出了一个微分方程的近似积分．概括起来，这个时期主要是完善了算术，建立了代数、几何、三角等学科，为变量数学发展积累了丰富的素材．数学发展的特点(1)数学的研究对象从实际事物的性质中抽象出来，把它理想化成为纯粹的研究对象——相对稳定状态下的数量和图形．(2)数学已由具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段；在前期积累的算术、几何知识的基础上，建立了更多的抽象的数字概念、符号和图形，逐步脱离其实际问题而成为独立的学科．(3)数学研究不仅运用抽象方法，而且运用逻辑方法(主要为演绎法)，把过去经验积累的数学知识整理成为演绎体系．(4)数学内容依据其研究对象的不同建立起了算术、代数、几何、三角等数学分支，并有自己专门的符号体系、陈述方法和推理证明方法．四、变量数学时期1．年代:17世纪中叶到19世纪20年代．2．数学的对象：是客观事物在运动变化的状态下变化的数量和变化的图形，也就是变量．43．主要发明创造法国的笛卡儿(Descartes，1596～1650)首创解析几何．英国牛顿(Newton，1642～1727)和德国的莱布尼兹(Leibniz，1646-1716)创立了微积分．解析几何与微积分是常量数学到变量数学的标志法国的蒙日在实用性问题研究上创设了画法几何学．他把微积分应用于曲线和曲面的研究，写了第一本微分几何的书．这样，使得数学研究的基本方法从传统的几何演绎方法转变为算术、代数和分析方法，数学灌注了全新的内容．(1)解析几何的发明笛卡儿十分重视方法论的研究，1637年发表了《方法论》著作，附录的第三篇是《几何学》，这就是解析几何的起点．该书共分三卷，第一卷讨讨尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体与“超立体”的作图(实际是代数问题)．笛卡儿的中心思想是要建立起一种普遍的数学，使算术、代数和几何统一起来，主要是把代数方法用到几何上，用方程来研究曲线的性质．他创立解析几何的主要贡献在于引进了“变数”，建立了坐标法，把“形”和“数”统一起来．在数学中引入变数是数学史上一项划时代的变革，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学．笛卡儿从自古已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x，y)的对应关系．从而得出方程F(x，y)=0表示平面上构成一条曲线．这样就用代数方法研究曲线性质、把数和形统一起来．在笛卡儿之前就有不少学者在解析几何方面作过努力．和笛卡儿同时代的法国数学家费尔马分享着解析几何创立的荣誉，他和笛卡儿对解析几何有同样的贡献．(2)微积分的发明：由牛顿、莱布尼兹共同创立的．早在希腊时代，积分思想已经萌芽．例如公元前5世纪，德谟克利特首创原子法，把物体看作由大量微小部分叠合而成，从而求得锥体体积是等底等高柱体的1／3．阿基米德在解决抛物线弓形和回转锥线体问题中使用分成许多非常小的长条或薄片的方法求得相关面积和体积。这些都隐含着积分的思想．中国庄子的“一尺之捶”，刘徽的割圆术、祖恒的开立圆术……都无意中使用了极限方法．作为微分学中心问题——切线问题的探讨却是较晚的事．在17世纪，有名的数学家如费尔马、笛卡儿、罗伯瓦等，讨论了“切线问题”。费尔马和笛卡儿从几何角度出发，认为切线是当两个交点重合时的割线，罗伯瓦从运动的角度出发，将切线看作所描画曲线上的运动点的方向．这两种不同的观点，对微积分的产生有了直接的影响．此外，英国的巴罗利用微分三角形构造切线，把握了微分概念和方法的精华．开普勒于1615年发表了《测定酒桶体积的新方法》，求得圆锥曲线所产生旋转体的体积，使用的方法正是“积分法”的萌芽．几乎与开普勒同时，意大利数学家卡瓦列利于1635年发表《连续不可分几何》．他主张：一条线由无穷多个点构成，一个面由无穷多条线构成，一个立体由无穷多个面构成；点的运动产生线，线的运动产生面，面的运动产生体．这种理论就是微积分原始的雏形．5牛顿和莱布尼兹在微积分的工作中最大功绩是将两个貌似不相关的问题即切线问题(微分学的中心问题)和求积问题(积分学的中心问题)联系起来．1665年，牛顿在手写的一页文件开始有“流数术”的记载．这可作为微积分出现的标志．牛顿称连续变量的“流动量”，称流动量的系数为“流动率”，把时间作为所有流动量的自变量，并使用了“刹那”一词(相当于dy，dx…)．流数术所提出的中心问题是：①已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(即微分法)；②已知运动的速度，求给定时间内经过的路程(即积分法)．牛顿建立微积分主要从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度出发．他采用巴罗的“微分三角形”。称它为“特征三角形”．他于1684年发表了第一篇微分学的论文，提出了一种求极大极小和切线的新方法，文中使用了现代微分符号和基本微分法则：如d(ax)=adx，()dywxddydwdx，dxv=xdv+vdx等．1686年，他发表了第一篇积分学论文，当时他把积分，看作求和的过程．他采用符号的方法建立了微积分的符号系统，被沿用至今．到18世纪微积分已发展为庞大领域——分析学．后来达朗贝尔首次把极限理论作为分析的基础，改进了导数概念；拉格朗日改进了求导方法，把分析学基础脱离几何与力学．直到19世纪初，柯西在《分析教程》中给出无穷小量严格定义，并把取极限的概念作为基础，完善了微积分的理论，微积分才有今天的形式．4．数学发展的特点：(1)数学的研究对象从研究常量到变量，离散量到连续量，有限量到无限量，必然量到或然量，从研究简单的几何图形(如直线形)的性质到较复杂的几何图形(如圆锥曲线等)的性质．(2)数学的思想、方法出现新特点：由几何方法向解析方法转变，不仅应用了逻辑方法，而且具有辩证法的特点；数学思想、观点出现了许多混乱并导致剧烈争论；数学中理论上的矛盾促进了数学基础论的研究．(3)建立起解析几何和微积分两个新学科此外，还出现了概率论和射影几何等新的数学部门．微积分发展成为数学分析．(4)数学分析在数学发展中占主导地位。数学分析的思想、方法渗入数学中较古老的范围，数与形结合研究取得许多成果．数学分析研究成果应用到其他数学部门出现了许多数学内部的边缘学科，如微分几何、微分方程、变分法等．(5)数学与自然科学相互促进。数学的发明来自天体运动、机械运动、大地测量等技术学科和