习题解答(第1章)

习题解答第一章1．举例说明符合光传播基本定律的生活现象及各定律的应用。答：（1）光的直线传播定律影子的形成；日蚀；月蚀；均可证明此定律。应用：许多精密的测量，如大地测量（地形地貌测量），光学测量，天文测量。（2）光的独立传播定律定律：不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播。说明：各光束在一点交会，光的强度是各光束强度的简单叠加，离开交会点后，各光束仍按各自原来的方向传播。2．已知真空中的光速c3×108m/s，求光在水(n=1.333)、冕牌玻璃(n=1.51)、火石玻璃(n=1.65)、加拿大树胶(n=1.526)、金刚石(n=2.417)等介质中的光速。解：v=c/n(1)光在水中的速度：v=3×108/1.333=2.25×108m/s(2)光在冕牌玻璃中的速度：v=3×108/1.51=1.99×108m/s(3)光在火石玻璃中的速度：v=3×108/1.65=1.82×108m/s(4)光在加拿大树胶中的速度：v=3×108/1.526=1.97×108m/s(5)光在金刚石中的速度：v=3×108/2.417=1.24×108m/s＊背景资料：最初用于制造镜头的玻璃，就是普通窗户玻璃或酒瓶上的疙瘩，形状类似“冠”，皇冠玻璃或冕牌玻璃的名称由此而来。那时候的玻璃极不均匀，多泡沫。除了冕牌玻璃外还有另一种含铅量较多的燧石玻璃（也称火石玻璃）。3．一物体经针孔相机在屏上成像的大小为60mm，若将屏拉远50mm，则像的大小变为70mm，求屏到针孔的初始距离。解：706050lll=300mm4．一厚度为200mm的平行平板玻璃(设n=1.5)，下面放一直径为1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少?解：本题是关于全反射条件的问题。若要在玻璃板上方看不到金属片，则纸片最小尺寸应能够挡住金属片边缘光线达到全反射的位置。(1)求角：nsin=n’sin901.5sin=1=41.81(2)求厚度为h、=41.81所对应的宽度l：l=htg=200×tg41.81=179mm(3)纸片最小直径：dmin=d金属片＋2l=1+179×2=359mm6050700l90h5．试分析当光从光疏介质进入光密介质时，发生全反射的可能性。6．证明光线通过平行玻璃平板时，出射光线与入射光线平行。7．如图1-15所示，光线入射到一楔形光学元件上。已知楔角为，折射率为n，求光线经过该楔形光学元件后的偏角。解：(1)求折射角：nsin=n’sin若、角度较小，则有：n=n’=n(2)求偏转角：=－=n-=(n-1)8．如图1-6所示，光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2，光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径(即n0sinI1，其中I1为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角)。9．有一直角棱镜如图1-16所示，其折射率为n。问光线以多大的孔径角0入射时，正好能够经其斜面全反射后出射。如果棱镜用冕牌玻璃K9（n=1.51630网上获得）制造，试计算0的值。解：孔径光线中最上面的光线是临界点，所以只要该条光线能够全反射，则其它光线都可以满足。（1）求满足全反射条件的角：nsin=n’sin90sin=1/n（2）求第一折射面的折射角1：1=180--(180-45)=45-（3）求第一折射面的入射角0：n’sin0=nsin1sin0=nsin(45-)（4）当棱镜用冕牌玻璃K9时，计算可得：sin=1/n=1/1.5163＝41.261=180--(180-45)=45-＝45－41.26=3.74sin0=1.5163×sin3.74=0.10=5.6710．由费马原理证明光的折射定律和反射定律。11．根据完善成像条件，证明无限远点与有限远点的等光程反射面为抛物面。12．导出对一对有限远共轭点成完善像的单个折射面的面形方程。13．证明光学系统的垂轴放大率公式(1-40)和式(1-41)。14．一物点位于一透明玻璃球的后表面，如果从前表面看到此物点的像正好位于无穷远，试求该玻璃球的折射率n。0n90n解：即从玻璃球前看到的是平行光线。(1)已知条件：n为折射率，n’=1，l=2r，l’=-，(2)利用近轴物像位置关系公式：rnnlnln'''将已知条件代入：rnrn12n=2（与书后答案不同，本答案正确，可参考16题）15．一直径为20mm的玻璃球，其折射率为3，今有一光线以60入射角入射到该玻璃球上，试分析光线经过玻璃球的传播情况。16．一束平行细光束入射到一半径为r=30mm、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。如果在凸面镀上反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处?反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。解：（1）已知条件：n＝1，n’=1.5，r=30，l=-，l’=?rnnlnln'''代入有：3015.15.1'll’=90mm实像（没有考虑第二个折射面）（2）已知条件：n＝1，n’=－1，r=30，l=-，l’=?rll211'代入有：3021'll’=15mm虚像（3）在第（1）步的基础上进行计算，已知条件：n＝1.5，n’=－1.5，r=－30，l=90-60＝30，l’=?rll211'代入有：3023011'll’=-10mm实像（4）在第（3）步的基础上进行计算，已知条件：n＝1.5，n’=1，r=30，l=60-10＝50，l’=?rnnlnln'''代入有：305.11505.11'll’=75mm虚像17．一折射球面r＝150mm，n＝1，n’=1.5，问当物距分别为-、-1000mm、-100mm、0、100mm、150mm和200mm时，垂轴放大率各为多少?18．一直径为400mm，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1/2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处?如果在水中观察，看到的气泡又在何处?（水的折射率为1.33，网上查询）解：（1）在空气中：①从左向右看：对于1号气泡：已知条件：n＝1.5，n’=1，r=200，l=100，l’=?rnnlnln'''代入有：2005.111005.11'll’=80mm对于2号气泡：已知条件：n＝1.5，n’=1，r=200，l=200，l’=?代入有：2005.112005.11'll’=200mm∴看上去气泡在80mm处，看到的是1号球的像。②从右向左看：对于1号气泡：已知条件：n＝1.5，n’=1，r=－200，l=－300，l’=?代入有：2005.113005.11'll’=－400mm对于2号气泡：已知条件：n＝1.5，n’=1，r=－200，l=－200，l’=?代入有：2005.112005.11'll’=－200mm∴看上去气泡在-200mm处，看到的是2号球的像。19．有一平凸透镜r1=100mm，r2=，d＝300mm，n=1.5，当物体在-时，求高斯像的位置。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处？当人射高度h=10mm时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？这一偏离说明什么？解：（1）已知条件：n＝1，n’=1.5，r=100，l=-，l’=?rnnlnln'''代入有：10015.15.1'll’=300mm（2）通过第（1）步可知：在第二面上刻一十字丝，其通过球面的高斯像在－，根据光路可逆。（3）入射角IsinI=h/r=10/100=0.1根据折射定律：nsinI=n’sinI’0.1=1.5sinI’sinI’=1/1512L根据正弦定理：)sin(sin''IIrILL=199.332实际光线的像方截距为：L＋r=299.332mm与高斯像面的距离为：300－299.332＝0.668mm说明该成像系统有像差。20．一球面镜半径r=-100mm，求=0、-0.1×、-0.2×、-1×、1×、5×、10×、时的物距和像距。21．一物体位于半径为r的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大4倍的实像、放大4倍的虚像、缩小4倍的实像和缩小4倍的虚像？解：rll211'（1）4'lll’=4l代入上式，可得：l=5r/8（2）4'lll’=－4l代入上式，可得：l=3r/8（3）41'lll’=l/4代入上式，可得：l=5r/2（4）41'lll’=－l/4代入上式，可得：l=-3r/222．有一半径为r的透明玻璃球，如果在其后半球面镀上反射膜，问此球的折射率为多少时，从空气中入射的光经此球反射后仍按原方向出射？解：（1）经过第一折射面时，n=1，l=-，n’=nx，r=rrnnlnln'''rnlnxx1'1'xxnrnl（2）经过第二反射面时，n=nx，n’=-nx，r=-r，12xxnrnrl代入公式：rll211'32'xxnnrl（3）经过第三折射面时，n=nx，n’=1，r=-r，3)2(2xxnnrrl，l’=-代入公式：rnnlnln'''n=2