习题集-02数字信号处理习题答案

第一章离散时间信号系统与Z变换1§Z变换Z变换的定义及收敛域【习题】1.假如)(nx的z变换代数表示式是下式，问)(zX可能有多少不同的收敛域。)83451)(411(411)(2122zzzzzX【分析】）要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为00,,00,,0,00,0,022112121zzRzRnnRznnRznnzRnnzRnznznnnzxxxxxx第一章离散时间信号系统与Z变换2解：对X(Z)的分子和分母进行因式分解得)431)(211)(211(2111111ZjZjZZX(Z)的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4∴X(Z)的收敛域为：(1)1/2|Z|3/4，为双边序列，见图一(2)|Z|1/2，为左边序列，见图二(3)|Z|3/4，为右边序列，见图三图一图二图三)431)(211)(411()211)(211()(11211ZZZZZZX第一章离散时间信号系统与Z变换3Z反变换【习题】2.有一右边序列)(nx，其z变换为)1)(211(1)(11zzzX(a)将上式作部分分式展开(用1z表示)，由展开式求)(nx。(b)将上式表示成z的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求)(nx,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。【注意】不管哪种表示法最后求出x(n)应该是相同的。解：(a)因为11122111)(zzzX且x(n)是右边序列所以)()212()(nunxn(b)1221211)1)(21(21231)1)(21()(2zzzzzzzzzX)()212()1(2)1(21)()(nunununnxnn则第一章离散时间信号系统与Z变换4Z变换的基本性质和定理【习题】3.对因果序列，初值定理是)(lim)0(zXxz，如果序列为0n时0)(nx，问相应的定理是什么？)(nx讨论一个序列，其z变换为：值。试求其的收敛域包括单位圆，)0()(xzX【分析】这道题讨论如何由双边序列Z变换)(zX来求序列初值)0(x，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，〖它们各自由)(zX求)0(x表达式是不同的〗，将它们各自的)0(x相加即得所求。)0()(lim)2()1()0()()(:,0)(,0020xzXzxzxxznxzXnxnznn所以此时有：有时当序列满足解：若序列)(nx的Z变换为：21,2)()()(21324)21)(2(24191272512419127)(21212211zzzXzXzXzzzzzzzzzzzzX的极点为）（）（由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为：221z31)0()0()0(31213lim)(lim)0(024lim)(lim)0()(0)(2122010121xxxzzzXxzzzXxnxnnxzzzz）（）（为因果序列：时为有值左边序列，为则2112512419127)(zzzzX第一章离散时间信号系统与Z变换54.有一信号)(ny，它与另两个信号)(1nx和)(2nx的关系是：)1()3()(21nxnxny其中)(21)(1nunxn，)(31)(2nunxn已知111)]([aznuaZn，az，。变换的变换性质求利用)()(zYznyz【分析】。则）（：注意移位定理)()()()(*)()(2)()()()()()()()1(212111zXzXzYnxnxnyzXzm)nx(zXzmnxzXnxzXnx-mm解：根据题目所给条件可得：112111)(znx123111)(znxZ131211)3(zznxZ21zzzXnxZ3111)()(122311zzznxZ311)1(123z而)1()3()(21nxnxny所以)1()3()(21nxZnxZzYzzzz311211113)21)(3(33zzz第一章离散时间信号系统与Z变换6Z变换与傅里叶变换的关系【习题】5.求以下序列)(nx的频谱)(jeX。(1))(0nn(2))(nuean(3))()(0nuenj(4))cos()(0nnuean【分析】可以先求序列的Z变换)(zX再求频率jjjezzXeXeX)()()(即)(jeX为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的傅里叶变换nnjjenxeX)()(解：对题中所给的)(nx先进行z变换再求频谱得：0)()()()1(0nznnZnxZzX0|)()(jnezjezXeXj111)()()2(zenueZzXaanjaezjeezXeXj11|)()(1)()(0011)()()3(zenueZzXjnj)(011|)()(jezjeezXeXj第一章离散时间信号系统与Z变换7)cos()()()4(0nnueZzXanaaaezezez220101cos21cos1∴jezjzXeX|)()(ajajajeeeeee2200cos21cos16.若)(),(21nxnx是因果稳定序列，求证：})(21}{)(21{)()(212121deXdeXdeXeXjjjj【分析】利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解deeXeXnxnxnjjj)()(21)(*)(2121，而)()(21)0()0(0)(*)(212121deXeXxxnnxnxjj再利用)()(21nxnx、的傅里叶反变换，代入n=0即可得所需结果。证明:deeXeXeXeXeYzXzXzYnxnxnynjjjjjj)()(21)()()()()()()()()(21212121则设)()()()(2121nxnxnydeeYnjj)0()0()()(|)()()()(2121002102121xxknxkxnxnxdeXeXnnknjj第一章离散时间信号系统与Z变换8deeXnxdeeXnxnjjnjj)(21)()(21)(2211∴deXxj)(21)0(11deXxj)(21)0(22})(21}{)(21{)()(212121deXdeXdeXeXjjjj第一章离散时间信号系统与Z变换9。和即可得到所需的时，当)(arg)(5jjeXeXN序列的傅里叶变换【习题】7.求)()(5nRnx的傅里叶变换。【分析】这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。解：根据傅里叶变换的概念可得：21212221210111)()(jjNjNjjNjjNnNjeeeeeeeeenRDTFTeXNjnjkNkkNeNj2,,2,2sin2sin21为整数2sin2sin)(2NeXkj，时当2sin2sinarg21)(argNNeXj1N2N2,21nnnN第一章离散时间信号系统与Z变换10傅里叶变换的一些对称性质【习题】8.设)(jeX是如下图所示的)(nx信号的傅里叶变换，不必求出)(jeX，试完成下列计算：(a))(0jeX(b)deXj)((c)deXj2)((d)ddedXj2)(【分析】利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式。)()(2122njnxdex第一章离散时间信号系统与Z变换11解：4)0(2)()()(6)()()()(000xdeeXdeXbnxenxeXajjjnnnjj)(c由帕塞瓦尔公式可得：nnxdeXj22)(2)(28)(d∵nnjjenxeX)()(∴nnjjenxjndedX)()()(即dedXnxjnDTFTj)()()(由帕塞瓦尔公式可得：316)490256491019(2)(2|)()(|2)(2222nnnxnnxjnddedXj第一章离散时间信号系统与Z变换129.已知)(nx有傅里叶变换)(jeX，用)(jeX表示下列信号的傅里叶变换。(a))1()1()(1nxnxnx(b)2)()()(2nxnxnx(c))()1()(23nxnnx【分析】利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。。)]([d)(ed,)()()()(,)()(jnnxDTFTXjeXenmxeXnxeXnxjmjjj解：)()()(jeXnxDTFTa)()(jeXnxDTFT)()1(jjeXenxDTFT)()1(jjeXenxDTFTcos)(2]()]([1jjjeXeeXnxDTFT)()]([)(**jeXnxDTFTb]Re[2*e)(jXXXx)]([2nDTFT因而：e)(je)(j(c)nnjjenxeX)()(则nnjjenxjndedX)()()(dedXjdjedXnnxDTFTjj)()()()(即第一章离散时间信号系统与Z变换13))(()(:2dejdXddjnxnDTFTj同理22)(deXdj而)()(2)()(23nxnnxnxnnx所以)(3nxDTFT)()(2)(2nxDTFTnnxDTFTnxnDTFT)()(2)(22jjjeXdedXjdeXd第一章离散时间信号系统与Z变换14离散系统的系统函数，系统的频率响应【习题】10.已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统)1()2()1()(nxnynyny(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(b)求此系统的单位抽样响应；(c)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。【分析】Y(z)y(n),)()(,)()(zHnhzXnx则)]([)(/)()(nhZzXzYzH，要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果