中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用

中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用摘要本文针对偶数阶中心对称矩阵，引入偶数阶置换矩阵，探索了矩阵特征分解的新方法。该方法是通过对矩阵的分块，将复杂大型矩阵特征值问题，转化为几个小矩阵特征值求解，使得问题计算的复杂度大大缩减。关键词：中心对称矩阵置换矩阵特征分解定义1：如果nm矩阵P=（ijp）满足1,1jnimijpp其中njmi1,1则P是中心对称矩阵[1]形如abba，abcdedcba都是中心对称矩阵。定义2：如果111)(nnijnJJ，则nJ为n阶置换矩阵设nJ为n阶置换矩阵，则用nJ左乘（或右乘）矩阵P，可以将其行（或列）按反序重新排列。定理1：nm矩阵P是中心对称矩阵当且仅当nmPJPJ证明：若nmPJPJ，因为EJn2，则nmPJJP，且1,1,1jnimjimnijnmijpPJPJJp其中njmi1,1因此P是中心对称矩阵。反之，若P是中心对称矩阵，则显然有nmPJPJ.定理2：设P和Q都是n阶中心对称矩阵，则P+Q，PQ和cP（c为任意实数）仍是中心对称矩阵证明：设P和Q都是n阶中心对称矩阵，则由定理1，QPQJJPJJJQPJnnnnnn)(，PQQJJPJJJPQJnnnnnn))(()(，cPPJJcJcPJnnnn)()(.因此，P+Q，PQ和cP仍是中心对称矩阵。引理1：对于偶数阶（n=2s）置换矩阵J，存在变换矩阵Q，使得QTJnQ为Es00-Esæèççöø÷÷证明：设Tu)0,,0,1(1，则TnuJ)1,,0,0(1，TnuJ)0,,0,1(12，故0112uuJn即0))(()(112uEJEJuEJnnn，所以TnuEJ)1,,0,1()(1,TnuEJ)1,,0,1()(1分别是nJ的属于特征值1，-1的特征向量。同样，设Tu)0,,1,0(2，有0222uuJn，所以T)0,1,0,,0,1,0(和T)0,1,0,,0,1,0(分别是属于特征值1，-1的特征向量。当P为偶数阶（n=2s）时，继续做下去，可得n=2s个相互正交的特征向量，将它们排列为变换矩阵Q的列向量，得ssssEJJEQ2111111111111121，此时有.对于n阶中心对称矩阵P，则nnPJPJ，因而QJPQQQPQQQJQnTTTnT，所以E00-Eæèçöø÷QTPQ=QTPQE00-Eæèçöø÷.定理3：对于偶数阶中心对称矩阵P，存在变换矩阵Q，使得QTPQ为准对角矩阵[2]证明：由引理1，选取变换矩阵Q设4321PPPPPQQT（iP是s阶矩阵），则43214321PPPPPPPPEE,43214321PPPPEEPPPP.由此可得032PP，故4100PPPQQT是准对角矩阵，这会便利矩阵特征值的计算。推论1：设DCBAP是n（=2s）阶中心对称矩阵，由定理1可知，DCBAJJJJDCBAssss0000.因此ssCJJB，ssAJJD，从而ssssAJJCCJJAP，故ssssssssssssTEJJEAJJCCJJAEJJEPQQ21ssssssssCJAJJCJAJCJAJCJA00)(00.因此，2s阶矩阵P的特征值等同于s阶矩阵CJAs和sssCJAJJ的特征值，即将大矩阵特征值计算问题，转化为两个小矩阵的特征值计算，减少了计算复杂度。特别地，如果s为偶数s=2t，则s阶小矩阵可以继续分解为阶数更小的t阶矩阵，如果t依然是偶数，以此类推，高阶大矩阵特征值问题转化为求解低阶小矩阵特征值问题，计算难度大大减少。参考文献[1]邱森，朱林生《高等代数探究性课题集》，武汉大学出版社，2008[2]黄廷祝，何军华，李永斌，《高等代数》，高等教育出版社，2012