二元一次方程组的应用

课题：二元一次方程组的应用（教师用）一、解应用题的关键点：利用二元一次方程组解有关的应用题时，对应用题进行观察和分析，要着重注意如下三点：(1)题中有哪几个未知数(包括明显的未知数和隐含的未知数)？(2)题中的未知数与已知内容之间有哪几个相等关系(包括明显的相等关系和隐含的相等关系)？——题中有几个未知数，一般就要找出几个相等关系.(3)设立哪几个未知数，利用哪几个相等关系，可以较方便地把其余未知数用所设未知数的代数式表示出来？(利用剩下的等量关系列方程组.)二、常见几类应用题及其基本数量关系明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常遇到的几类应用题及其基本关系如下：（1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积）。（2）调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。（3）利息类应用题的基本关系式：本金×利率＝利息，本金＋利息＝本息。（4）商品利润率问题：商品的利润率，商品利润＝商品售价－商品进价。（5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1，其中，工作效率＝工作总量÷工作时间。计划数量×超额百分数=超额数量计划数量×实际完成百分数=实际数量(6).行程问题：基本关系式为:速度×时间=距离相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。环形跑道题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。飞行问题、基本等量关系：①顺风速度＝无风速度＋风速②逆风速度＝无风速度－风速航行问题，基本等量关系：①顺水速度＝静水速度＋水速②逆水速度＝静水速度－水速（7）.工程问题：基本关系式为:工作效率×工作时间=工作总量计划数量×超额百分数=超额数量计划数量×实际完成百分数=实际数量（8）百分比浓度问题：基本关系式为:溶液×百分比浓度=溶质（9）混合物问题：基本关系式为:各种混合物重量之和=混合后的总重量混合前纯物重量=混合后纯物重量混合物重量×含纯物的百分数=纯物的重量（10）.倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等.（11）比例类应用题：若甲、乙的比为2：3，可设甲为2x，乙为3x。（12），数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这三位数为：,100a+10b+c。三、例题精析（1）直接设元例1.某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？思考如下：（1）题目中的已知条件是什么？（2）“有人没有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3.基于上述分析，那么已知条件“每辆车坐45人，15人没有座位”可理解成什么？“每辆车坐60人，恰好空出一辆车”又可理解成什么？解：设该单位共有x辆车，y个人.依题意，得例2.汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前小时到达。求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的时间。思考问题：（1）路程、速度、时间三者关系是什么？（2）本题中的“延误”和“提前”都是以什么为标准的？（3）基于上述分析，那么已知条件“汽车每小时行使45千米，则要延误小时到达目的地”可理解成什么？已知条件“若每小时行使50千米，就可以提前小时到达目的地”又可理解成什么？解：设甲、乙两地的距离为x千米，原计划行驶时间为y小时.依题意，得。例3.甲、乙两人从相距36千米的两地同时相向出发，经过4小时30分钟相遇，如果乙先走2小时，然后甲再出发，这样甲经过3小时40分钟与乙相遇，求甲、乙两人的速度。分析：此题是行程问题中的相遇问题。题中有两个未知量：甲、乙两人的速度。有两个等量关系：（1）甲、乙二人4小时所走的路程=36千米；（2）甲3小时所走的路程+乙(2+3)小时走的路程=36千米。解：设甲、乙二人的速度分别为x千米/时，y千米/时。根据题意，得例4.甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人相遇.已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.(只列方程，不求出)分析：这个问题是环形线上的相遇、追及问题.其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度.有两个相等关系，即(1)背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400米；(2)同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400米.解：设甲人速度为每分钟x米，乙人速度为每分钟行走y米.依题意，得例5.某纸品厂加工甲、乙二种无盖的长方体小盒如图（1），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等，如图（2）。现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？解:法（一）设可以制作甲种小盒x个，乙种小盒y个根据题意列出方程组解：法（二）设制作甲种小盒用去x张正方形硬纸片，制作乙种小盒用去y张正方形硬纸片，那么可制作甲种小盒x个，乙种小盒Y/2个根据题意列出方程组：四、例题精析（2）合理选择，间接设元列方程解应用题的第一步是设未知数，设未知数的方法很多，有时可直接设所求量为未知数，有时应间接地设未知数，还有的时候需要增设辅助未知数.那么，如何巧设未知数，以达到迅速解题的目的呢？合理选择，间接设元许多同学在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数.这种方法有时很难寻找已知量与未知量之间的相等关系.因此，我们应根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的.例1.从夏令营到学校，先下山然后走平路，某同学先骑自行车以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过平路，到达学校共用55分钟，他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏令营用了1小时。从夏令营到学校有多少千米？分析：根据题设条件，若设山路长为未知数x，则由来回的平路长相等得方程：9；同样可设平路长为未知数，由来回山路长相等得方程12还可设山路长和平路长分别为x千米，y千米，由来回的时间关系建立二元一次方程组或设下山和上山的时间分别为x小时，y小时.由来回山路长和平路长分别相等得到二元一次方程组五、例题精析（3）设而不求，巧用辅助量当应用题中涉及的量较多，各个量之间的关系又不明显时，可适当地增设辅助未知数，有的不是要具体地求出它们的值，而是以此作桥梁，沟通各个数量之间的关系，为列方程(组)创造条件.在解题过程中需将辅助未知数消去，以便求出所需未知数的值.例1.一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？解设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得(x＋5)V2＋x(V1-V2)＝5(V1＋V2)，xV2+5V2＋xV1-xV2＝5V1+5V2，xV1＝5V1，∵V1≠0，∴x＝5.答：乘客5分钟后发现掉了物品.注：这里的辅助未知数是V1和V2.例2.一只船发现漏水时，已进了一些水，现水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时可淘完，5人淘水8小时淘完，如果2小时淘完水，需要多少人淘水.解设2小时淘完水需x人，一人淘水量为y，每小时进水量为z，再设原进水量为a，由题意得(2)-(1)得5z=10y，z＝2y，(4)(2)－(3)得6z=2y(20-x)，(5)把(4)代入(5)得6×2y＝2y(20-x)，解得x=14.答：2小时淘完水需14人.注：这里的y，z，a是设而不求的辅助未知数.例3.甲班与乙班共83人，乙班与丙班共86人，丙班与丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？(首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)解设甲、乙、丙、丁班各有人数a、b、c、d，由题意得(1)-(2)+(3)得a＋d=85人.答：甲班和丁班共有85人.例4.一只小船顺流航行从甲码头到乙码头需a小时，逆流航行这段路程需b小时，那么一木块顺水漂流这段路程需____小时.解：设甲、乙两个码头的距离是S公里，小船在静水中的速度为x公里/小时，水流速度为y公里/小时，依题意得即由(1)-(2)得∴答：一木块顺水漂流这段路程需小时。例5.有一片牧场，草每天都在均匀地生长(草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量相等。如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？解：(1)设这片牧场原有草量为a，每天生长的量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛在x天内可以吃完牧草，则由(2)-(1)得b=12c(4)由(3)-(2)得(16x-168)c=(x-8)b(5)将(4)代入(5)得x=18.答：如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草。六、练习题1.某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是（）A、1400和2800B、1900和2300C、2800和1400D、2300和1900评析：根据题的条件列方程组。设初中生x人，高中生y人，可得方程组，解得故选A。说明：该题也可列方程8%·x+(4200-x)·11%=4200×10%来解。2．有资料显示，美洲是世界上贫富差别最大的地区，美国的人均国内生产总值，比海地与墨西哥的人均国内生产总值的和还要多23800美元，美国的人均国内生产总值是海地的45倍与墨西哥的4倍之和，达到29000美元。海地与墨西哥的人均国内生产总值的比例中项是尼加拉瓜的人均国内生产总值的２倍，并且尼加拉瓜的人均国内生产总值高于海地的人均国内生产总值。问尼加拉瓜的人均国内生产总值是多少美元?评析。该题中等量关系，一是美国的人均国内生产总值比海地与墨西哥人均国内生产总值的和多23800美元，二是美国的人均国内生产总值是海地的45倍与墨西哥的4倍之和。29000是美国的人均国内生产总值，因此可列方程组求出海地、墨西哥的人均国内生产总值，再根据比例中项的意义求出尼加拉瓜的人均国内生产总值。解题过程如下：解：设海地的人均国内生产总值为x美元，墨西哥的人均国内生产总值为y美元，依题意，得解这个方程组，得，∴xy=1000000。其比例中项为±1000。依题意舍去负值，得尼加拉瓜的人均国内生产总值为500美元。答：尼加拉瓜的人均国内生产总值为500美元。3．把浓度分别是90%和60%的甲乙两种酒精溶液，配制成浓度为75%的消毒酒精溶液500克，求甲、乙两种酒精溶液各取多少克？评析：该题是一个溶液配比中的合二为一问题，对于此类问题要把握两点，一是配制过程中两种溶液的质量和是配制后溶液的质量。二是在配制过程中纯酒精的量不变。所以可设甲为x克，乙为y克，列方程组解方程组即可。解：设甲种酒精取x克，乙种酒精取y克根据题意得解得答：两种酒精各取250克。另解：设甲种酒精取x克，根据题意得方程90%+60%(500-x)=75%×500解得：x=250，500-x=500-250=2504.我区某学校原计划向内蒙察右后旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%。问初中学生和高中学生各比原计划多捐赠了图书多少册?解：设初中学生原计划捐赠x册，高中学生原计划捐赠y册。根据题意，得整理得：∴x=82500-23（x+y）=82500-23×3500=2000∴y=3500-2000=1500∴(-1)x=400；（-1）y=225。答：初中学生比原计划多捐赠了400册，高中学生比原计划多捐赠了225册。5.某河上游的A地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林场，改变后，林场与牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%，请你用