二元函数的连续偏导数可微之间的关系

目录摘要……………………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………………………1引言……………………………………………………………………………………………11二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义……………………………………………12二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系………………………………………22.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系………………………………………………22.2二元函数连续与可微之间的关系………………………………………………………32.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系………………………………………………32.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系………………………………………………4二元函数连续、偏导数、可微的关系图………………………………………………………6参考文献………………………………………………………………………………………7致谢……………………………………………………………………………………………8本科生毕业论文2二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词二元函数连续偏导数可微TheRelationshipamongContinuation,PartialDerivativesandDifferentiabilityinBinaryFunctionAbstractUnaryfunctiondifferentiablewithderivativeequivalent,willbecontinuouslydifferentiable.Butthedualfunctionisnotthecase,thefollowingarticlegivesacontinuousfunctionoftwovariables,partialderivatives,canbesaidtherelationshipbetweenthem,andgivesasimpleshow,andillustratedwithexamplesrelatedbetweenthemandundercertainconditionshaveincommon..Keywordsbinaryfunctioncontinuationpartialderivativesdifferentiability引言二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1设f为定义在点集2DR上的二元函数，0DP（0P或者是D的聚点，或者是D的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正数，只要0,)(DPUP，就有0)||()(fPfP，则称f关于集合D在点0P连续.定义2设函数(,),(,)zfxyxyD，若00,)(yDx且0,)(yfx在0x的某一邻域内有定义，则当极限00000000(,))(,)(,limlimxxxfxyfxyfxxyxx存在时，则称这个极限为函数f在点00,)(yx关于x的偏导数，记作00(,)|xyfx.定义3设函数(,)zfxy在点000,)(yPx某邻域0()UP内有定义，对于0()UP中的点00,)(,)(yPxyxxy，若函数f在点0P处的全增量可表示为本科生毕业论文30000)(,)(,()AzfxxyyfxyxBy，其中A、B是仅与点0P有关的常数，22,()xy是较高阶的无穷小量，则称函数f在点0P处可微.2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyxyfxyxy在(0,0)偏导数存在但不连续.证明因为00(,0)(0,0)00(0,0)limlim0xxxfxffxx，同理可知(0,0)0yf.所以(,)fxy在(0,0)偏导数存在.因为220,0limxyxyxy极限不存在，所以(,)fxy在(0,0)不连续.例2[2]22(,)fxyxy在(0,0)点连续，但不存在偏导数.证明因为220,00,0lim(,)lim0(0,0)xyxyfxyxyf，所以22(,)fxyxy在(0,0)点连续，因为200(,0)(0,0)(0,0)limlimxxxfxfxfxx,该极限不存在，同理(0,0)yf也不存在.所以22(,)fxyxy在点(0,0)连续，但不存在偏导数.此二例说明:二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导.2.2二元函数连续与可微之间的关系定理1[3]若(,)zfxy在点(,)xy可微，则(,)zfxy在点(,)xy一定连续.证明(,)zfxy在点(,)xy可微，0000)(,)(,()AzfxxyyfxyxBy(1)本科生毕业论文4所以当0,0xy时，有0z，即(,)zfxy在该点连续.例3[4]证明22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy在(0,0)点连续，但在(0,0)点不可微.证明令cos,sinxryr，则(,)00xyr.因为222cossin|||||cossin|0(0)xyrrrrrxy,所以(,)fxy在(0,0)点连续.按偏导数定义00(,0)(0,0)0(0,0)limlim0xxxfxffxx,同理(0,0)0yf.若(,)fxy在点(0,0)可微，则22(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyxyzdzfxyffxfyxy应是22xy较高阶的无穷小量.因为2200limlimzdzxyxy该极限不存在,所以(,)fxy在点(0,0)不可微.此例说明:二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理2[5]若二元函数f在其定义域内一点00,)(yx处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((xyAfyBfyxx.证明因为(,)zfxy在点(,)xy可微，则0000)(,)(,()AzfxxyyfxyxBy.本科生毕业论文5若令上式中0y,则0000(,)(,)(||)zfxxyfxyAxx,所以000000(,)(,)(||)limlimxxAxfxxyfxyxAx.即Azx.类似可证Bzy.例4[6]设2222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy,则(,)fxy在点(0,0)偏导数存在，但在该点不可微.解事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0xxfxffx，0(0,)(0,0)(0,0)lim0yyfyffy,故(,)fxy在点(0,0)偏导数存在.（2）因为222300,0limlim()xyfdfxyxy，此时若令ykx，则232233230,00,0limlim()||(1)xyxyxykxxyxk，此极限显然不存在，所以0limfdf不存在，所以(,)fxy在点(0,0)不可微.此例说明:二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别.2.4函数可微与偏导数连续之间的关系定理3[7]若二元函数(,)zfxy的偏导数在点00(,)xy的某邻域内存在，且xf与yf在点00(,)xy处连续，则函数f在点00(,)xy处可微.证明我们把全增量0000,)(,)(yfxyzfxxy00000000[,),)][,)(,)](((yyyfxyfxxyfxyfxy本科生毕业论文6在第一个括号里，它是函数0,)(yfxy关于x的偏增量;在第二个括号里，则是函数0(,)fxy关于y的偏增量.对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得010002,),(()xyyyzfxxyxfxyy12,10（2）由于xf与yf在点00(,)xy处连续，因此有01000,)(,)(xxyxyfxxyf，（3）00200,(,)()yyyxyfxyf,（4）其中当0,0xy时，有0,0.将（3），（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)xyxyxyzfxfyxy.所以函数f在点00(,)xy处可微.例5[8]22221()sin,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy在(0,0)处可微，但(,)xfxy与(,)yfxy均在(0,0)处不连续.解因为22220,01lim()sin0(0,0)xyxyfxy,所以(,)fxy在(0,0)处连续.22001sin(,0)(0,0)(0,0)limlim0xxxxfxfxfxx,同理(0,0)0yf.当220xy时，2222220,011lim2sincosxxyxfxxyxyxy极限不存在,故(,)xfxy在点(0,0)不连续.同理可证(,)yfxy在(0,0)处不连续.本科生毕业论文7222222001()sinlimlim0xyxyfdfxy,所以(,)fxy在(0,0)处可微.此例说明二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理4[9]若(,)fxy在0()UP内(,)xfxy存在，且(,)xfxy在00(,)oPxy连续，(,)yfxy在0P存在，证明：f在0P可微.证明0000(,)(,)ffxxyyfxy00000000[(,)(,)][(,)(,)]fxxyyfxyyfxyyfxy由已知(,)xfxy存在，且在0(,)oxy连续,有0000010(,)(,)(,)xfxxyyfxyyfxxyyx0011(,)(0)xfxyxx,因为0000000(,)(,)lim(,)yyfxyyfxyfxyy，所以00000022(,)(,)(,)(0)yfxyyfxyfxyyy，又因1212||||||0xy，所以f在点0P可微.注此定理中(,)xfxy与(,)yfxy互换，结论仍然成立.二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在二元函数可微二元函数偏导数连续本科生毕业论文8参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003.6：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，2004.9：116[3]朱正佑，数学分析