二分法导学案

“二分法求函数零点近似解”导学案学习目标通过本节课的学习，你应该能够知识与技能1．能够分清变号零点和不变号零点；2．能够通过()()0fafb，判断函数()yfx在[,]ab上存在零点；过程与方法1．理解二分法求函数零点近似解的基本思想与步骤；*2．能够借助科学计算器用二分法求给函数零点满足一定精确度要求的近似解；课中学习一、课堂引入我们已经学习过一元一次方程和一元二次方程的根的解法。一元一次方程和二次方程的求根公式，早在公元九世纪就由阿拉伯数学家花拉子米系统给出。一元三次方程求根公式，1541年由意大利数学家塔塔利亚给出。一元四次方程求根公式，1545年由意大利数学家费拉里在其老师卡尔达诺发表的《大术》一书中给出。此后，数学家们始终找不出五次方程以及更高次方程的求根公式，直到三百年之后，1825年，挪威学者阿贝尔证明了五次以上方程没有求根公式。我们上节课学习过，求方程的根也就是求对应函数的零点，对于五次以上的高次多项式函数以及其他的一些函数，有必要寻求求零点近似解的方法，这在计算数学中是一个十分重要的课题。二、自主探究预习课本72P，回答下列问题问题1．什么是变号零点，什么是不变号零点？问题2．如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定存在零点？零点存在性判定定理：如果函数()yfx在一个区间[a,b]上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0fafb，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点0,xab，使0()0fx。思考1：满足上述条件的函数y=f（x）在区间（a，b）上的零点的个数是否唯一？思考2：若把条件“f（a）·f（b）＜0”改为“f（a）·f（b）＞0”，函数y=f（x）在区间（a，b）上是否不存在零点？思考3：根据条件“f（a）·f（b）＜0”确定地是函数的变号零点还是不变号零点？例1：函数f（x）的图象如图所示，则该函数变号零点的个数是个。例2．已知函数fx的图象是不间断的，x、fx的对应关系见下表，则函数fx存在零点的区间有（）x123456fx65-310-5-23A1,2,2,3B2,3,3,4C2,3,3,4,4,5D3,4,4,5,5,6问题3..2008年初我国南方遭遇了50年不遇的雪灾，雪灾发生后停水断电，交通受阻。一日，某市A地到B地的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？问题4．能否类比上面排查故障的方法，来求函数的零点的近似解呢？二分法:对于在区间上连续不断，且满足()fa)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法问题5：用二分法求函数零点近似解的一般步骤?回顾二分法求函数零点近似解过程，思考以下问题：⑴求函数f(x)的零点近似解第一步应做什么？⑵如何缩小零点所在的区间（a，b）？⑶如何根据给定的精确度，选取零点近似值？例3．不用求根公式，如何求函数f（x）=x2－2x－1在区间（2,3）上的零点近似值（精确到0.1）？解：由于f（2）=－1＜0，f（3）=3＞0，可以确定区间[2,3]作为计算的初始区间。端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a0,b0f（a0）f（b0）0[a0,b0]存在零点区间[a0,b0]的中点0x判断f(0x)的符号[a1,b1]区间[a1,b1]的中点1x判断f(1x)的符号[a2,b2]区间[a2,b2]的中点2x判断f(2x)的符号[a3,b3]区间[a3,b3]的中点3x判断f(3x)的符号[a4,b4]当[an,bn]的左右端点近似值相等时，这个相同的近似值就是函数满足精确度的近似零点三、能力提升例4．方程510xx的一个正零点的存在区间可能是（）A.[0,1]B.[1,2]C.[3,4]D.[4,5]例5．求证：方程01752xx的根一个在区间)0,1(上，另一个在区间)2,1(上。例6．若函数)(xf的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(ffff，则下列命题正确的是（）A.函数)(xf在区间1,0内有零点B.函数)(xf在区间2,1内有零点C.函数)(xf在区间2,0内有零点D.函数)(xf在区间4,0内有零点