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第八章二元一次方程组1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。3、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少。（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。（4）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤a)从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”；b)将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”；c)解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”；d)把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”；e)把x、y的值用｛联立起来即“联”。6、加减消元法解二元一次方程组：（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤a)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”；b)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，即“加减”；c)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”；d)将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”；e)把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤（1）审题：理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。弄清题意和题目中的数量关系。（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程。设未知数及作答时若有单位的一定要带单位，方程中数量单位一定要统一。（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值。（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。8、设未知数的几种常见方法（1）设直接未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设作方程里的未知数，并且求几个设几个。例：李红用甲、乙两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元．已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（公民应交利息所得税＝利息金额×20％）．（答案：2.25％和0.99％）解：设甲、乙这两种形式储蓄的年利率分别为x％、y％。（2）设间接未知数：即设的不是所求量。有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂；若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程。例：甲、乙两厂计划在上月共生产机床360台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产了机床400台，问上月两厂各超额生产了机床多少台？（答案24台和16台）解：设上月份甲厂计划生产机床x台，乙厂计划生产机床y台。（3）少设未知数：有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解。例：怎样把45分成甲、乙、丙、丁四个数，使甲数加2，乙数减2，丙数加倍，丁数减半的结果相等？（答案：甲数为8，乙数为12，丙数为5，丁数为20）解：设甲数为x，丙数为y，则乙数为x＋4，丁数为4y。（4）多设未知数：有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数。例：甲车和乙车共坐了93人，乙车和丙车共坐了96人，丙车和丁车共坐了98人，问甲车和丁车共坐了多少人？（答案95人）思路与技巧：本题只需求甲车和丁车乘坐的人数之和，但是若以这个量为未知数，列方程比较困难．因此，我们不妨设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数作为辅助未知数，列出方程组来求解．解：设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数分别为x、y、z、u。二元一次方程组测试题一、选择题1、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个2、如果423yxayx的解都是正数，那么a的取值范围是（）（A）a2（B）34a（C）342a（D）34a3、关于x、y的方程组myxmyx932的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）（A）2（B）-1（C）1（D）-24、在下列方程中，只有一个解的是（）（A）0331yxyx（B）2330yxyx（C）4331yxyx（D）3331yxyx5、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）（A）9114yxyx（B）75zyyx（C）6231yxx（D）1yxxyyx6、已知方程组135byaxyx有无数多个解，则a、b的值等于（）（A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=147、若5x-6y=0，且xy≠0，则yxyx3545的值等于（）（A）32（B）23（C）1（D）-18、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）（A）无解（B）有唯一一个解（C）有无数多个解（D）不能确定9、下列方程中，是二元一次方程的是（）A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．1x+4y=6D．4x=24y10、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．228423119...23754624xyxyabxBCDxybcyxxy11、二元一次方程5a－11b=21（）A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解12、下列各式，属于二元一次方程的个数有（）①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1x+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2；⑥6x－2y；⑦x+y+z=1；⑧y（y－1）=2y2－y2+x。A．1B．2C．3D．413、已知方程组的解为，则2a-3b的值为（）．A．4B．6C．-6D．-414、二元一次方程x+y=10的正整数解有（）．A．7个B．8个C．9个D．10个15、解方程组231,367.xyxy用加减法消去y，需要（）A．①×2-②B．①×3-②×2C．①×2+②D．①×3+②×216、已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（）A．266B．288C．-288D．-12417、已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（）A.1B．-1C．0D．m-1二、填空题18、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______，若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；19、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________；20、若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．42axbyaxby21xy21、已知x，y满足方程组23,37.xyxy①②求x+2y的值为．三、解答题22、求适合的x，y的值。23、已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？24、m取什么整数值时，方程组0242yxmyx的解：（1）是正数；（2）是正整数？并求它的所有正整数解。25、试求方程组6|2||5|7|2|yxyx的解。26、二元一次方程组437(1)3xykxky的解x，y的值相等，求k．四、应用题27、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？28、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？29、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。30、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的201是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。31、某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：捐款数额（元）捐助贫困中学生人数（名）捐助贫困小学生人数（名）初一年级400024初二年级420033初三年级7400（1）求a，b的值．（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中，不需要写出计算过程．