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中置足球中积分排名问题的数学解决方法冯东新沭阳正德中学摘要：中置足球运动，是本地区在实践体育课标理念的基础上，研究开发的一项新兴球类运动项目，通过对传统足球运动场地的改造与创新，将足球门设在场地中间，双方围绕球门展开攻防活动，从而产生了一系列的规则与战术的变化。中置足球运动可以减少队员的无效跑动，增加学生对抗和接触球的机会，提高学生参加足球运动的兴趣。由于中置足球对运动的场地要求不高，适合农村中学开展体育课堂教学和课外活动，让农村中学生充分体验到足球运动的快乐。关键词：中置足球积分排名数学Keyword：InfootballIntegralrankingMathematics引言：中置足球是发明人徐大从与沭阳县正德中学共同开发的校本研究项目，初具影响，教育部2008省级课程培训简报已将其列为课程资源开发的成功案例，面向全国推广。2011年与之相关的省级课题《中置足球引入中小学体育运动的可行性研究》在正德中学顺利结题并获省中小学教学研究第七期课题一等奖。在“中置足球”实践过程中，正德中学的中置足球课程基地被认定为江苏省“2014年普通高中课程基地建设项目”，学校成立的厚生足球俱乐部2013年、2014年蝉联“市长杯”阳光体育足球比赛冠军，并代表宿迁市参加“省长杯”比赛。如今中置足球已经成为正德中学特色文化的一个重要组成部分，形成了全体师生人人会踢，人人爱踢，人人能踢，班班有球队，男女有球队的喜人局面一.问题的背景及提出比赛采取年级预赛采取循环赛的方式进行，各个班级组建男女各一队，旨在让更多的学生参与到更多的活动中去，比赛结束后，初中一部、初中二部、高中一部、高中二部以部为单位组建部级男女队，参加艺体节中置足球决赛。但是学校每一年的分部都有多少，积分规则也不固定，这或多或少的会出现评比的不公平。而且各队名次排列往往比较简单，因为其涉及的比赛团队较少，数据不复杂。而在一些大型比赛中影响因素很多，比如有的球队间没有直接的比赛，有的球队会超水平发挥或失误，主场优势等。基于这些因素的影响，人们往往会对比赛结果产生质疑。为了解除人们的疑惑，我们必须提出可以克服上述诸多不确定因素的影响，使得排名结果能准确的反映球队的真实实力。为了相对公平，本文利用层次分析法和竞赛图等数学模型建立了不同的解决排名问题的方法。在层次分析法中，我们根据各队成绩推算出他们的实力对比情况，并据此构建了判断矩阵，并判断其可约性，在不可约的情况下进行排名；构造判断矩阵的辅助矩阵,通过计算其主特征根、主特征向量，得出排名情况；文中可以看出此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上小的波动不会对排名顺序造成大的变动，并证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。在竞赛图法中我们参考了国际足联联赛积分制度的规定胜一场积3分，平一场积1分负一场积0分的积分制度来考虑两队的水平对比，认为净胜球对球队的实力影响小于胜负平局对实力影响。这两个模型较好的解决了足球队的排名问题，而且经过简单修改可以应用于很多对抗型比赛的排名二.问题分析排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队的真实实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的。为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连结起来的所有场比赛。（2）稳定性:成绩表中微小的变动不会对排名造成巨大的影响，即球队发挥水平的较小波动性不会对排名结果产生大的影响。（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的队不幸遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平。为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,避免“运气”起重要作用，此要求是必须的。（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断实力的大小。（5）能够判断成绩表的可约性。（6）容忍不一致现象；比如说a胜b,b胜c,c平a,称这种情况为数据不一致，如果不一致的情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太低,应该考虑放弃比赛成绩。（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。为了达到这些要求，我们必须要充分利用数据，用最有效的方法处理好数据残缺、不一致性、偶然性等问题，使得排名结果更合理更有说服力。三.问题假设假设Ⅰ参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。假设Ⅱ在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相对立的正态分布。假设Ⅲ设净胜球对实力的影响小于胜负影响，即优先比较胜负关系。若胜负场次相同即认为实力相差不大，不能说明两队实力情况。四.模型的建立与求解方法一：层次分析法第一步：根据比赛成绩表构造判断矩阵A：第二步：检测A的可约性第三步：构造辅助矩阵A第四步：计算A的主特征根max和主特征向量第五步：按各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次排名为：7T，3T,1T,2T,9T,8T,10T,12T,5T,6T,11T,4T第六步：检验矩阵A的一致性，判断排名结果的可靠性方法二：竞赛图法第一步：根据问题的假设和比赛成绩表，构造竞赛图：以n个参赛队1T,2T,3T,…,nT为竞赛图G的顶点，G的边集按如下算法求得：i从1到n循环，j从1到n循环。若iT胜jT的场次多，则以iT为尾jT为头，作边,ijTT；若iT胜jT的场次多，则建边,jiTT，若两队之间胜的场次相同，由于假设中净胜球因素小于胜负因素，则也不建边。若两队之间没有比赛则不建边。可约性的判断与层次分析法相同。根据建边情况，可按如下规则建立矩阵ijBb：（1）ij时0ijb；（2）ij时，若iT、jT建边,ijTT，则取1ijb，0jib；若iT、jT之间未建边，则ijb、jib不计数由此得矩阵B：1234567891011121234567891011120111100111010111000000000001000000110101111100010010101111100011000000100010TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT第二步：建立邻接矩阵考虑到足球比赛中的积分情况，以及有些没建边的两队若是因为平局所导致，所以对矩阵做如下改变：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；S为各队的总得分。由此得出矩阵B：123456789101112123456789101112011333113117100313113013130333111117000000010000103001050003306111303333321111100013190013030333161313010033151000000130100307TTTTTTTTTTTTSTTTTTTTTTTTT以B显示出的参考得分S与净胜球为参考对矩阵B进行补残得出邻接矩阵B123456789101112123456789101112010111011111000111011011110111011111000000000000000100000010000110000010111111011111000111000011000111010111010111010011000100000000000111000010TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT第三步：根据邻接矩阵B可得各队参考得分向量并排名97100231157714S考虑到一级和二级的得分向量，其由强到弱排名顺序为：7T，3T，1T,9T,10T,2T，8T，12T，6T，5T，11T，4T五.模型的评价层次分析法与一般算法相比有明显的优势是：（1）能够较为准确地处理残缺、不一致等质量很差的数据，对比赛程序没有严格的要求，稳定性很好；（2）灵活性强，提供了比赛数据可约性的正确评估，并且可灵活调整比赛数据；（3）满足保序性。然而此模型也有其存在的明显的不足之处：（1）判断矩阵的计算较为复杂，当参赛队较多时求解判断矩阵A就会很费时；（2）当残缺元素较多时，排名得稳定性和可靠性较低。这个模型的改进余地还是很大的，本模型只是用了层次分析法中单一准则一个层次的分析[3]，在数据足够充足准确的情况下，完全可以考虑多个准则和递进层次，比如将净胜球数、净胜局数、射门次数、犯规次数分成四个层次，两个层次逐层讨论，最后在综合讨论，使排名更能反映各队的真实实力。相对于层次分析法模型，竞赛图法的说服力有待商榷，从图论理论可知，得分向量随级数增高最终会趋于稳定，但这里只计算了二级向量。对于小型比赛来说，这种算法简单方便，但对于大型赛事来说，由于其所涉及的参赛队较多，数据关系复杂，每一级计算都会有大量的计算量，计算耗时。但这并不代表图论法就一无是处，其简单明了，正如前所述，解决小型赛事极妙。六．结论与建议在中置足球运动中，要对相应的规则进行细化，合理的积分规则，才能保证公平、公正，才能保证学生的运动积极性，保持中置足球的旺盛生命力。参考文献：[1]徐大从，《高中足球（中置足球）单元教学设计》，体育与健康课程网，2011[2]许树伯，《实用决策方法——层次分析法原理》，天津大学出版社，1988[3]周义仓，赫孝良，《数学建模实验》（第二版），西安交通大学出版社，2007年8月[4]王树禾，《图论》（第二版），科技出版社，2009[5]肖位枢，《图论及其算法》，航空工业出版社，1993[6]李继成，《数学实验》，高等教育出版社，2006