中考数学专题复习之二待定系数法

【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法：通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x23=（1A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法：通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法：通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知b2a3，求abab的值”，解答此题，只需设定b2=ka3，则a=3kb=2k，，代入abab即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x6xk是完全平方式，则k=【】A．9B．－9C．±9D．±3【考点】待定系数法思想的应用。练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【】A．64B．48C．32D．162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是▲。3.（2011江苏连云港3分）计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为【】A．－2B．2C．－4D．44.（2011湖北荆州3分）将代数式2x4x1化成2(xp)q的形式为【】A.2(x2)3B.2(x2)4C.2(x2)5D.2(x4)4二.待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题：例：（2012四川凉山4分）已知b5a13，则abab的值是【】A．23B．32C．94D．49【考点】比例的性质。练习题：1.（2012北京市5分）已知ab=023，求代数式5a2b(a2)(a+2b)(a2b)b－的值。2.（2011四川巴中3分）若a22ab3，则ba=▲。三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3－6x2+11x－6，223x5xy2yx9y4，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。典型例题：例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：2xx2＝▲。【考点】因式分解。例2：分解因式：223x5xy2yx9y4▲。【考点】因式分解。练习题：1.（2012四川南充3分）分解因式：2x4x12=。2.（2012山东潍坊3分）分解因式：x3—4x2—12x=。3.（2011贵州黔东南4分）分解因式：822xx。四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，kyx的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a(x－h)2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于▲．【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【】A．1y2xB．2yxC．2yxD．1yx【答案】B。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为▲．【答案】y=﹣x2+4x﹣3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为455，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。练习题：1.（2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）2.（2012山东菏泽7分）如图，一次函数2y=x23的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．3.（2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【】A．400y=xB．1y=4xC．100y=xD．1y=400x4.（2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．(2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．5.（2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使x－10123y03430得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．6.（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线1l、2l．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线1l相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线2l的距离之和等于线段MN的长．五.待定系数法在求解规律性问题中的应用：近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式n11aan1ddnad(其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将