中考数学专题探究-----面积问题(一)(含答案)

多学一点离成功更近一步1中考数学专题探究-----面积问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。考点一：面积的函数关系式问题典型例题：1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线4xy与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为)40aa（，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0x4，x0，－x+40）；则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0x4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20a时，42121422aaS；如图10（3），当42a时，22)4(21)4(21aaS；∴S与a的函数的图象如下图所示：BxyMCDOA图12（1）BxyOA图12（2）BxyOA图12（3）多学一点离成功更近一步22、（2009宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC△的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒．（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．解：（1）过点C作CDAB，垂足为D．则2AD，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即32AM时，四边形MNQP是矩形，32t秒时，四边形MNQP是矩形．3tan6032PMAM°=，332MNQPS四边形（2）1°当01t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·133(1)2tt332t02·4··2·4Sa的函数关系式并画出该函数的图象．)204212aaS（)42)4(212aaS（CPQBAMNCPQBAMN多学一点离成功更近一步32°当12t≤≤时1()2MNQPSPMQNMN四边形·133(3)12tt·3323°当23t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·13(3)3(4)2tt7332t3、（2010年辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．解：（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC．∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）OMNHACEFDB↑→－8(－6，－4)xyCPQBAMNCPQBAMNxyOMN（-6，-4）H（-8，0）多学一点离成功更近一步4（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为2yaxbxc，∵抛物线过点A（0，4），∴4c．则抛物线关系式为24yaxbx．将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840abab，．解得1432ab，．所求抛物线关系式为：213442yxx．（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．∴AGFEOFBECEFGBABCOSSSSS△△△四边形梯形21OA（AB+OC）12AF·AG12OE·OF12CE·OAmmmmm421)8(21)4(2186421）（2882mm（0＜m＜4）∵2(4)12Sm．∴当4m时，S的取最小值．又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．（4）当226m时，GB=GF，当2m时，BE=BG．4、如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，60B°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，APQ△与ABC△重叠部分．．．．的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当APQ△是等边三角形时x的值是秒；（3）求y与x之间的函数关系式．PQABCD（第28题）多学一点离成功更近一步5解：（1）6．（2）8．（3）①当03x≤时，211133sin6022222APQySAPAQxxx13△1·····．②当3x≤6时，1222222121sin60213(12-2)22APQySAPPQAPCQxx△=?····=2333.2xx③当69x≤≤时，设33PQ与AC交于点O．(解法一)过3Q作3,QECB∥则3CQE△为等边三角形．33333212..QECECQxQECBCOPEOQ∥△∽△3361,212211(212),33CPOCxOEEQxOCCEx3333311sin60sin6022AQPACPCOPySSCPACOCCP△△△-S··°··°13113(6)(212)(6)22232xxx·6．Q1ABCDQ2P3Q3EP2P1O多学一点离成功更近一步6237315362xx．（解法二）如右图，过点O作3OFCP于点F，3OGCQ，于点,G过点3P作3PHDC交DC延长线于点H．,.ACBACDOFOG又33,6,2122(6),CPxCQxx3312CQPCOQSS△△3333321,3113211(212)(6)3223(6).6COPCPQSSCQPHxxx△△··3·又331sin602ACPSCPAC△··°13(6)62233(6).2xx3AOPyS△332333(6)(6)26ACPOCPSSxx△△2373153.62xxP3OABCDQ3GHF多学一点离成功更近一步7考点2、面积最值问题典型例题：1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当4t，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值解．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是BDC＝3232221(2)当时，如图104tQB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t由PQR∽BQM∽CRN得2)324(tSSPQRBQM2)326(tSSPQRCRN22)4(43)324(tStSPQRBQM,22)6(43)326(tStSPQRCRNS＝3255)-(t23t)-(6434t4333222）（当t取5时，最大值为325图11多学一点离成功更近一步8当t取6时，有最大值32综上所述，最大值为325二、名题精练：1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点AC、的坐标分别为(10)(03)，、，，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线1x，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长．（3）求PBC△面积的最大值，并求此时点P的坐标．解：（1）设二次函数的解析式为2(0)yaxbxcaabc，、、为常数，由抛物线的对称性知B点坐标为(30)，，依题意得：09303abcabcc解得：332333abc所求二次函数的解析式为2323333yxx（2）P点的横坐标为m，P点的纵坐标为2323333mmxyBFOACPx=1（第25题）xyBFOACPx=1（第25题）多学一点离成功更近一步9设直线BC的解析式为(0)ykxbkkb，、是常数，依题意，得303kbb333kb故直线BC的解析式为333yx点F的坐标为333mm，233(03)3PFmmm（3）PBC△的面积12CPFBPFSSSPFBO△△·=221333933323228mmm当32m时，PBC△的最大面积为938把32m代入2323333ymm得534y点P的坐标为35324，2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2∠AOB=30°,D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒3个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，设D、E两点运动的时间为t秒。（1）点A的坐标为，点B的坐标为。（2）在点D、E运动的过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理(3)当t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿直线DE向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s，请写出s与t的函数关系式，并求出s的最大值。多学一点离成功更近一步104、（2009年湖北恩施）如图12，在ABC△中，9010ABCABC°，，△的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DEBC∥，交AC于点E．设DEx，以DE为