专题中点的妙用

中点的妙用教学目标：运用三角形的中位线，延长过中点的线段构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质，或直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解决有关中点的问题重点：中点方法的灵活运用难点：解决中点问题的能力【方法指导】与中点有关的图形问题，是初中数学的重要题型，除了线段的中点的定义，我们又学过很多与中点有关的重要结论。联想是一种非常重要的数学思想，善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？当你看到这个专题后，能给你带来一定的启示。看到中点该想到什么？下面介绍四种在做题过程中最常用又使很多学生纠结的方法:1、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。2、直角三角形+斜边的中点，“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现。3、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要应用。4、线段的中点+平行线，“八字型的全等”要出现。意思是：遇到两条平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形；这个方法来源于梯形的一种作辅助线方法：“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。（如图）5、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；6、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”【知识回顾】等腰三角形的底边上的、和顶角的三线合一。直角三角形斜边上的中线等于。三角形中位线定理：【题型赏析】一、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。例1：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．点拨：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC．练习：如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．165二、直角三角形+斜边的中点，“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现例2：如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．点拨：本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．三、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要运用。常用的辅助线：①三角形两边有中点，构造中位线；②两线段有中点，构造三角形；③取中点,连中位线。①三角形两边有中点，构造中位线；例3：已知：△ABC中，AD是BC中线，E、F分别是AB、AC中点.求证：AD、EF互相平分.点拨：本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，证明两条线段互相平分常用的方法是转化为平行四边形的判定．②两线段有中点，构造三角形；例4：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。点拨：此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．归纳总结：如图，在任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，回答问题：⑴连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是；⑵对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是矩形。⑶对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是菱形。⑷对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是正方形。变式：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形EFGH是菱形。（8）娈式6图HGFEDCBA变式：如图：点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是什么图形？并说明理由。③“取中点,连中位线”例5：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．点拨：本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明。一、线段的中点+平行线，“八字型的全等“要出现。例6：已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC。点拨：本题考查梯形的知识，因为点E是中点，所以应该联想到构造“八字型”全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．例7：如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD点拨：因为点E是中点，所以联想到构造“八字型”全等三角形，但是缺少了平行线的条件，因此我们要通过作平行线创造条件，这也是经常用到的解题思路．练习：（2010•雅安）如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且ADAB＝32，则ACAE=。（2004•十堰）如图，已知△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF．例8：如图，E是正方形ABCD边AB的中点，DF⊥CE于点M．说明：AM=AD．点拨：本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及相似三角形的判定与性质，作辅助线是解题的关键。练习：1、已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点．（1）求证：BF⊥DF；（2）若AB=8，AD=6，求DF的长．2、（2012·广州·25题）如图10，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD中点，CE⊥AB于点E，设∠ABC=a）（9060x（1）当60a时，求CE的长；（2）当9060a，是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由FEDCBA课后练习1、填空题：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是__________________.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_______________;顺次连结矩形各边中点所得的四边形是____________;顺次连结菱形各边中点所得的四边形是____________;顺次连结正方形各边中点所得的四边形是__________;顺次连结梯形各边中点所得的四边形是____________;顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是_________;2、（2011•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=cm．3、已知如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点。若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．4C．6D．84、如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A：线段EF的长逐渐增大。B：线段EF的长逐渐减少。C：线段EF的长不变。D：线段EF的长不能确定。5、（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若E，F，G，H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH平行四边形；（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形；（3）在（2）的条件下，梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．RPFEDCBAAEBFCGDH7、在□ABCD的对角线相交于点O.E、F、P分别OB、OC、AD的中点，且AC=2AB求证：EP=EF8、（2009绥化）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不必证明）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交CD、BA于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD形状并证明.）图（121HNMFEDCABNMEFOABCD）图（2ECBFADG）图（3PFEODACB