专题九平面解析几何(一)

专题九平面解析几何11.方程y＋223x＝0所表示的曲线是（C）A.一个圆B.半个圆C.半个椭圆D.一个椭圆2.给定两点A(－2，0)和B（2，0），若动点M使直线MA和MB的斜率之乘积等于常数－3，则点M的轨迹之方程为。3x3＋y2＝12(y0)3.如果点A不在直线l上，那么经过A且与l相切的圆之圆心的轨迹是（B）A.双曲线B.抛物线C.椭圆D.圆4.若是双曲线16y2–9x2＝12的渐近线与准线的夹角，则sin等于（B）A.0.55B.0.6C.0.75D.0.85.由曲线y＝28x与y＝x所包围的区域之间面积为。26.双曲线13422yx的渐近线方程为（B）A.3x±4y＝0B.3x±2y＝0C.4x±3y＝0D.2x±3y＝07.在平面直角坐标系中，直线x＋ay＋2＝0与直线2x＋y＋c＝0平行的充分必要条件是（D）A.a＝21且c≠1B.a＝2且c≠1C.a＝2且c≠4D.a＝21且c≠48.焦点为F1（1，0）和F2（7，0）的椭圆，若离心率为21，则长半轴长为（C）A.3B.4C.6D.89.若圆锥的轴截面是正三角形，且面积等于320cm2，则该圆锥的侧面积为_________________cm24010.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0所表示的曲线是（D）A.圆B.椭圆C.双曲线D.一个点11.椭圆42x＋（y–1）2＝1上的点到坐标原点距离的最大值为（D）A.5B.354C.22D.33412.直线x－3y＋3＝0与直线2x－y＋2＝0的夹角为弧度。4专题九平面解析几何213.双曲线x2－32y＝1的焦点到该双曲线的渐近线的距离为（B）A.2B.3C.26D.2314.设A、B是直线y＝2x－3与椭圆42x＋y2＝1的两个交点，M是AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率为（C）A.－41B.41C.－81D.8115.设直线4x－3y＝m与圆x2＋y2—4x＝0相切，并且切点在第一象限，则m的值为-2。16.设双曲线2222byax＝1的右准线与两条渐近线的交点分别为E和G，右焦点为F，且△EFG是正三角形，则双曲线的离心率为（C）A.27B.3C.2D.517.考虑经过点A（0，2）的直线l，以及经过两点P（－1，0）和Q（3，0）的圆N．若直线l与圆N相交于B、C两点，且|AB|＝|AC|，|BC|＝|PQ|，求圆N和直线l的方程。（注：|AB|表示线段AB的长度）。解：由P（－1，0）和Q（3，0）得PQ的垂直平分线为直线x＝1，故可设圆心N的坐标为（1，t），︱t︱为点N到直线PQ的距离。依设，P、Q、B、C四点共圆，A、B、C三点共线，且︱AB︱＝︱AC︱，︱BC︱＝︱PQ︱，所以︱NA︱＝︱t︱，2)2(1t＝︱t︱，∴4t＝5，t＝45；圆N的半径r＝︱NP︱＝24t＝489。因此，圆N的方程为（x－1)2＋(y－45)2＝1689。设直线1的斜率为k，因为NA1，所以－k1＝012t＝－43，得k＝34，故直线1的方程为y＝34x＋2，即4x—3y＋6＝0．18.圆N：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截直线l：y＝k(x＋1)－2所得的弦PQ之弦心距等于弦长|PQ|，求|PQ|和k的值。解：化圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，得圆心为点N(－1，2)，半径为r＝2.取弦PQ的中点M，则弦心距为︱MN︱＝2241QPr；专题九平面解析几何3依设︱MN︱＝︱PQ︱，所以︱PQ︱2＝r2—41︱PQ︱2；得︱PQ︱＝52r＝554根据点到直线的距离公式，得︱MN︱＝214k，∵︱MN︱＝︱PQ︱＝554，∴21k＝5，即k2＝4，得k＝±2.19.斜率为2的直线l与椭圆1222yx交于A、B两点，椭圆的右焦点F到直线l的距离为25，求A、B两点的距离。解：依题意，可设直线l的方程为y＝2x＋b，其中，b为待定系数。与椭圆方程联立，消去y得9x2＋8bx＋2(b2－1)＝0，依题意，该二次方程有不同的两个实根x1和x2，分别为点A和B的横坐标，故判别式82b2－8×9(b2－1)＞0，即b2＜9；且有x1＋x2＝－98b，x1x2＝92(b2－1)，其次，椭圆的半焦距c＝12＝1，右焦点为F（1，0）。由F到l的距离为25得52b＝25，即b＝－225，∵b2＜9，∴b＝21．从而x1＋x2＝－94，x1x2＝－61，（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝8170，最后，得A、B两点的距离为︱AB︱＝5︱x1－x2︱＝9145．20.经过点A（2，1）作直线l，交抛物线y2＝4x于P、Q两点，且A恰好是PQ的中点，求直线l的方程解：依题意，可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，其中k≠0为待定系数。与抛物线方程联立，消去x，得y2－yk4＋（k4－8）＝0，依题意，该二次方程有实根y1和y2，分别为点P和Q的纵坐标，∴y1＋y2＝k4。由A（2，1）是PQ的中点，得221yy＝1，∴k4＝2，得k＝2．从而直线l的方程为y＝2(x－2)＋1，即2x－y－3＝0。专题九平面解析几何421.在直角坐标平面上，向量OA＝（1，3）与OB＝（－3，1）在直线l上的射影长度相等，且直线l的倾斜角是锐角，求l的斜率。解：设直线l的斜率为k，依题意，k＞0，且l方向的单位向量为e＝)1,11(22kkk．依题设∣OA·e∣＝∣OB·e∣，得∣1＋3k∣＝∣－3＋k∣即1＋3k＝－3＋k，①或1＋3k＝3－k，②由①得k＝－2(舍去)，由②得k＝21.所以，l的斜率为21.22.在平面直角坐标系xOy中，过定点P（0，1）的直线与抛物线y2＝4x有两个交点A和B，求线段AB中点M的轨迹之方程。（写成普通方程的形式）解：依题意，可设直线AB的方程为y＝kx＋1，与方程y2＝4x联立，有两组不同的实数解（x1，y1）和（x2，y2），分别为点A和B的坐标，所以二次方程k2x2＋（2k－4）x＋1＝0，有相异实根x1和x2。从而，k≠0．且判别式△＝（2k－4）2－4k2＝16－16k＞0，∴k＜1且k≠0．记线段AB的中点为M（x，y），则.21224222221kkxykkkkxxx，由k的取值范围得：当k＜0时，x＞0，y＜0；当0＜k＜1时，x＞1，y＞2.所以，得点M的轨迹方程为2x＋y–y2＝0，其中y的取值范围为（－∞，0）∪（2，＋∞）。23.在平面直角坐标系xOy中，两圆x2＋y2＝9和（x－6）2＋y2＝1的外公切圆的圆心在直线2x－y＝4上，求这个公切圆的方解：设公切圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则r＞0，且由题设得.)1()6(,)3(,42222222rbarbaba由②式减③式，整理得r＝3a－11.④由r＞0得3a－11＞0，即a＞311，将④式代入②式，得①②③专题九平面解析几何5a2＋b2＝(3a—8)2，与①式联立，消去b得a2＝(3a—8)2—（2a—4)2，∴a2—8a＋12＝0，即(a—2)(a—6)＝0，∵a3113∴a＝6，得b＝2a—4＝8，r＝3a—11＝7，从而，得所求公切圆的方程为(x—6)2＋（y—8)2＝49．24.设抛物线y2＝2px(p＞0)上有不同两点M、N关于直线x＋2y＝8对称，求焦准距p的取值范围。解：两点M（x，y）和N（x，y）关于直线：x＋2y＝8对称的充要条件是垂直平分MN。设直线MN的方程为y＝2x＋b，式中b为常数。由M，N在抛物线上，知y，y满足方程y＝p(y－b)，即二次方程y－py＋pb＝0有不等的实根y和y，所以判别式△＝p－4pb＞0，①且y＋y＝p．由MN的中点P(x，y）在上，y＝x＝8－2y＝8－p．又x＝（y－b）＝(p－2b)，∴p－2b＝4(8－p)．②由①、②两式消失b得不等式p(64－9p)＞0，与p＞0联立，解得p的取值范围为0＜p＜。25.设抛物线y2＝4x上不同两点M、N关于直线x＋2y＝8对称，求直线MN的方程。解：因为直线x＋2y＝8的斜率为－，所以直线MN的斜率为2，可设直线MN的方程为y＝2x＋b，式中b为待定常数。设M（x，y）和N（x，y），则y≠y，且y，y都满足方程y－2y＋2b＝0，∴y＋y＝2。记MN的中点为P(x，y），则y＝，且点P在直线x＋2y＝8上，得x＝8－2y＝6。∴b＝y－2x＝－11．所以直线MN的方程为y＝2x－11．26.设椭圆171622yx的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，且1122ll12221221200l0,2221pyy0002104196421112212122120001221yy0000专题九平面解析几何6)sin(3)sin(1221FPFFPF．求点P到椭圆右准线的距离．解：依题设，得椭圆的长半轴长a＝4，短半轴长b＝，所以半焦距为c＝＝3，左、右焦点为(－3，0)，(3，0)，分如图，在△中应用正弦定理，由sin()＝3sin()得︱︱＝3︱︱，①因为点在椭圆上，所以︱︱＋︱︱＝2a＝8．②联立①，②求得︱︱＝2，︱︱＝6.分因为椭圆的离心率e＝＝，所以点P到右准线L的距离为d＝︱︱＝8.27.过点M（1，1）的直线与椭圆42x＋32y＝1相交于A、B两点，F是椭圆的右焦点，且FA＋FB＝2FM，求点F到直线AB的距离．解：椭圆的半焦距c＝＝1，得右焦点F(1，0)．记A、B，由M（1，1）和＋＝2得（＋－2，＋）＝2（0，1），∴＋＝2，＋＝2.分由A、B在椭圆上，得＋＝1，＋＝1，∴（＋）（－）＋（＋）（－）＝0．得直线AB的斜率为k＝＝－，分直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，即3x＋4y－7＝0．所以点F到直线AB的距离为d＝＝．分72²ba1F2F5P1F2FP1F2FP2F1FP2FP1FPP1FP2FP1FP2F10ac43e1P2F1534),(11yx),(22yxFAFBFM1x2x1y2y1x2x1y2y5421x321y422x322y411x2x1x2x311y2y1y2y2121xxyy431043169735414yxPdMlF2F1O