专题二中考数学转化思想(含答案)-

-1-第2讲转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x，y轴于点A、C、P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9．（1）求P点坐标；（2）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB右侧．作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．分析：（1）求P点坐标，进而转化为求PB、OB的长度，P（m，n）再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值．∵S△ABP=9，∴涉及AO长，应先求AO长，由于A是直线y=12x+2与x轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2，∴x=-4，∴AO=4．∴(4)2mn=9…①又∵点P（m，n）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、②得m=2，n=3，∴P（2，3）．-2-（2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b．分类讨论：①当24ba…①又由P点求出可确定反比例函数y=6x又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6x上∴b=6ma……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t2at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1，x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．Byx（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，AD=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．-4-中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．-5-3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于M、N，且被直线MN分成面积相等的上、下两部分．（1）求1MB+1NB的值；（2）求MB、NB的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN间的距离．D2C2B1A1D1C1BCAED．（2004，云南）如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM-6-5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．BAyxQ．已知抛物线y=（x-2）2-m2（常数m0）的顶点为P．（1）写出抛物线的开口方向和P点的坐标；（2）若此抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为A、B，并且∠APB=90°，试求△ABP的周长．2．已知m，n是关于x方程x2+（2+3）x+2t=0的两个根，且m2+mn=4+23，过点Q（m，n）的直线L1与直线L2交于点A（0，t），直线L1，L2分别与x轴的负半轴交于点B、C，如图，△ABC为等腰三角形．（1）求m，n，t的值；（2）求直线L1，L2的解析式；（3）若P为L2上一点，且△ABO∽△ABP，求P点坐标．l2Al1BCyxQO-8-3．如图，正方形ABCD中，AB=1，BC为⊙O的直径，设AD边上有一动点P（不运动至A、D），BP交⊙O于点F，CF的延长线交AB于点E，连结PE．（1）设BP=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当CF=2EF时，求BP的长；（3）是否存在点P，使△AEP∽△BEC（其对应关系只能是AB，EE，PC）？如果存在，试求出AP的长；如果不存在，请说明理由．BCAEDPOF-9-答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423cabc消去c，得b=-2a-2，又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴002aba∴b0，∴b=-2a-20，解得a-1，∴a的取值范围是-1a0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB·OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1·x2=1a，∴OB·OC=│x1│·│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1·x20），∴OB·OC=-1a，又∵OA2=OB·OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD·FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，-10-∴184DF，DF=2cm，∴BD2=16，∴DE=BD=4cm．3．（1）∵111NBMBABMB，即11NBMBMB，得MB+NB=MB·NB，两边同除以MB·NB得1MB+1NB=1．（2）12MB·NB=52，即MB·NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB·NB=5，∴MB、NB分别是方程x2-5x+5=0的两个实数根，x1=552，x2=552，∵MBNB，∴MB=552，NB=552．（3）B1M=3-52，EN=3-52，∴MN=1．4．解：过A作AC⊥MN于C，设AC长为x米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°，∴MC=AC·cot30°=3x，BC=AC=x，∵MC-BC=MB=400，3x-x=400．解得x=200（3+1）（米）．∴x500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区．5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．∴OQ=6-t，∴y=12×OP×OQ=12×t（6-t）=-12t2+3t（0≤t≤6）（2）∵y=-12t2+3t，∴当y有最大值时，t=3，∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰三角形．把△POQ沿PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形，∴点C的坐标是（3，3），∵A（12，0），B（0，6），∴直线AB的解析式为y=-12x+6，当x=3时，y=92≠3，-11-∴点C不落在直线AB上．（3）△POQ∽△AOB时，①若OQOPOBOA，即6612tt，12-2t=t，∴t=4．②若OQOPOAOB，即6126tt，6-t=2t，∴t=2，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．考前热身训练1．（1）开口向上，P（2，-m2）．（2）设对称轴与x轴交于点C，令（x-2）2-m2=0，得x1=-m+2，x2=m+2，∴A（-m+2，0），B（m+2，0），∴AC=│2-（-m+2）│=m，（∵m0）由抛物线对称性得PA2=AC2+PC2=m2+（-m2）2．∵∠APB=90°，∴易证AC=PC，即│m│=│-m2│，∴m1=0，m2=±1．∵m0，∴m=1，∴△ABC的周长为AB+2PA=2+22．2．（1）m=-2，n=3，t=3．（2）L1：y2=3x+3，L2：y=33x+3．（3）过B作BP1⊥AC于P1，则P1（32，32），过B作BP2⊥AB于P2，则P2（-2，32）．3．（1）y=1x（1x2）．（2）BP=62．（3）若△AEP∽△BEC，则AEAPBEBC，易知Rt△BAP≌Rt△CBE，BE=AP．BCAyxPO-12-设AP=t（0t1），则AE=AB-EB=1-t，∴11ttt，∴t=152，又∵0t1，∴t=512，即P点存在，且AP=512．