专题五数学课堂练习题的设计

专题五数学课堂练习题的设计教学目标与教学指导“数学课堂练习”是数学课堂教学的重要组成环节，主要目的是促使学生巩固和消化在课堂上所学的数学知识或技能，深刻理解掌握课堂上老师新近传授的数学思想方法，并能灵活应用它们解决数学问题。课堂练习是使学生掌握知识，形成技能，培养学生运用知识解决实际问题的有效手段，是学生学习数学的重要环节。它对优化课堂教学过程，提高课堂教学效率，拓展学生思维空间，起着重要的作用。本章分两节。第一节，简要概述数学课堂练习的理论基础，从以下四个方面具体介绍：（1）阐明数学课堂练习题的含义，提出数学课堂练习题应更多地具有数学问题的特征。（2）论述数学练习题发挥的三方面功能——知识功能、反馈功能、教育功能，并具体指出这些功能在练习题中的具体表现。（3）按照知识内容、形式、要素分析、开放性、评分的客观性这5种标准划分数学练习题的类型。（4）指出数学课堂练习具有口头练习、书面练习、操作练习等多种方式。第二节，第一部分详细阐述课堂练习设计需要掌握科学性、目的性、针对性、新颖性、灵活性、层次性等原则，对每种原则的内涵，通过有代表性的案例进行详细分析；第二部分拿出一整套优秀的课堂练习设计案例，对其进行深入剖析，以展现课堂练习设计的全貌。第一节数学课堂练习题概述一、数学课堂练习题的含义“数学课堂练习”是数学课堂教学的重要组成环节，主要目的是促使学生巩固和消化在课堂上所学的数学知识或技能，深刻理解掌握课堂上老师新近传授的数学思想方法，并能灵活应用它们解决数学问题。课堂练习是使学生掌握知识，形成技能，培养学生运用知识解决实际问题的有效手段，是学生学习数学的重要环节。它对优化课堂教学过程，提高课堂教学效率，拓展学生思维空间，起着重要的作用。而“数学课堂练习题”就是教师进行课堂练习教学的载体，它是教师针对课堂教学内容，为使学生达到一节课教学目标的要求，有目的有计划地设计的一系列数学习题。数学练习题是帮助学生理解、掌握和运用数学概念、定理、公式和法则的数学问题，是教师用作示范的具有一定代表性的典型数学问题，是把数学知识、技能、思想和方法联系起来的纽带，是对知识、技能、思想和方法进行分析、综合和运用的重要手段。[1]从以上对“数学练习题”的界定，我们可以看出，数学练习题与数学问题关联密切，它们的概念内涵上有一定的重合之处，但也有一定的区别。一般来说，练习题主要是为课堂教学服务的，教师通常以教学内容为主，针对教学知识与能力要求设计安排一些有层次的习题，通过让学生做练习起到加深巩固所学数学知识的作用，所以说练习题具有较强的指向性和目标性；而问题所涵盖的知识、涉及的己知未知的因素范围较广，不局限于学科要求本身。另外，练习题属于一种常规训练，是面向全体学生的，在训练难度、技巧上应该是大多数学生能够接受的，具有大众性；而问题往往是非常规的，而且问题具有相对性，对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是习题或练习，而对于第三个人，却可能是索然无味了。正因为练习题本身有区别于问题的这些特征，所以有人认为练习题与问题是两个不同的概念。练习题是为日常训练技巧设计的，而真正的问题则适合于学习发现如何探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。另外，练习题也只能称为“常规问题”，因为在许多情况下，教师已经在课堂上提供了典范解法，而学生只不过是应用这种典范解法模仿着求解类似的问题。戴再平在他的所著的《数学习题理论》一书中提出：“我们应该转变观念，拓广‘数学习题’这个概念的外延，使之包括来自生产、生活以及各学科的实际问题，以及条件是不完备的、解题策略是多种多样的、结论是不确定的所谓‘数学开放题’”。[2]因此，如果我们把“数学练习题”与“数学问题”严格划清界限，把“数学练习题”仅定位于简单的训练和常规的数学问题，将不利于学生深刻的理解数学知识与形成数学能力。传统的练习题只是以教科书上或老师在课堂上讲解的例题为范本，做练习也只是应用某种技术的简单重复，这对大多数学生来说没有挑战性，没有乐趣可言，做题反而成了一种负担。但是在当前数学新课改的发展趋势下，对学生“问题解决”的能力日益重视，因此，对课堂练习题的改革也迫在眉睫。练习题虽不等同于问题，却也属于问题，作为学生日常训练的一个重要组成部分，它是锻炼学生数学思维的体操，对于学生巩固记忆数学知识、熟练运用数学技能与思想方法起到重要作用。但是，我们不能把练习题的功用仅局限于此，练习题也应该同样具有问题的特征，在设计课堂练习题时，教师可以增加一些富有挑战性、探究性、开放性的问题，这并不意味着增加练习题的难度，而是要改变过去练习题单一、枯燥的形式，从内容上开拓学生视野，有助于学生创造性的思维发挥和解决问题能力的提高。所以我们不应把练习题与问题完全割裂开来，延伸“数学练习题”这一概念的内涵范畴是非常有必要的，而且也是可行的。二、数学练习题的功能1.知识功能通过练习，使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能或技巧，这是数学练习题的知识功能。数学练习题的知识功能贯穿在学生获得数学知识的三个阶段之中：（1）通过数学练习引入新知识。学习新知识，最重要的是建立新旧知识之间的联系，而建立新旧知识之间的联系必须先引起学生的思考，在学生的思想下产生疑问，正所谓“学起于思，思起于疑”。在这个过程中，数学练习题是架设在新旧知识之间的桥梁，并且是激发学生产生疑问的物化手段。优秀教师常常是通过数学练习题将学生引导到学习新知识的情景之中。（2）通过数学练习题巩固知识。巩固知识不仅靠复诵、模仿，更主要的是理解。在掌握新知识的过程中，最重要的是知识间的同化，即把新获得的知识纳入到原有的认知结构中去，数学习题能够积极地引起学生进行认知活动。所以，牛顿说过，在数学中，例子比定律更为重要。（3）通过数学练习题运用知识。无论是数学概念、数学定理、公式、法则的认识、理解或掌握，数学基本技能技巧或数学思想方法的获得，以及数学能力的提高、智力的培养和发展，都离不开解题，学生正是通过典型练习题的演算而运用知识，并获得新的知识。2.反馈功能课堂练习是一种有目的、有组织、有指导的实践活动，是学生掌握知识的重要过程，是提高教学效率的重要手段。教师在学生做练习过程通过巡回辅导，及时帮助后进生发现错误、改正错误，同时解决个别优等生的质疑，做到对练习情况心中有数。这样，借助课堂练习，教师可在第一时间获得学生有关解题速度、正确率、对知识的掌握程度以及他们在观察、分析、概括、归纳问题的过程中所反映出来的各种信息，有利于对课堂教学的调控，可以使教师对学习提供的指导更具针对性。数学课堂练习既为教师提供调控教学的信息，又为学生提供调整学习的信息。针对来自学生练习中的反馈信息，教师对学生练习情况做及时的评价与讲解，促使学生完善优化知识结构。3.教育功能数学素质教育功能主要体现在智力和非智力两个层面。从智力层面来看，数学练习题具有体现基本知识和基本能力，以及运用数学思想方法、培养数学意识的教育功能。从非智力层面来看，数学练习题能体现思维品质教育的功能，它具体表现为以下三方面的功能：（1）德育功能。数学课程对形成学生的性格和道德个性方面有巨大的作用。有些数学应用性的练习题中渗透着对环保意识、市场经济意识、优化意识、创新意识的教育意图，对提高学生的道德素质是十分重要的。（2）美育功能。数学练习题的条件的和谐性与独立性，形式的对称性，解法的合理性、简练性与独创性等等，无不体现出数学的统一美、简单美和奇异美，因此数学练习题能给学生以美的陶冶，在解决数学练习题的探索过程中，其动力往往来自对美的追求。魏耳说过：“除了语言和音乐之外，数学是人类心灵的自由创造力的最主要的表现。”“我的工作常想把真实和美统一起来，但当我不得不在这两者中选择时，我通常选择美。”（3）价值观教育功能。通过题目中隐含的辩证思想，数学练习题反映着客观现实的各种现象，可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育。另外，有些数学练习题能反映出我国传统数学的伟大成就，以及我国现代科学技术文化的发展成就，它们也有助于培养学生的爱国情怀。三、数学练习题的类型研究数学课堂练习题，必须了解数学练习题的分类。戴再平在《数学习题理论》中将数学练习题按不同的标准分类如下[3]：1.按知识内容分类：数学习题可分为算术题、代数题、几何题等，并且对每个内容在不同层次上还可以分类。2.按形式分类：比较完善的是三分法是，第一类是求解题，第二类是证明题或说明题，第三类是变换题或求作题。3.按要素分析分类：数学问题是一个系统，系统的各个要素分别是问题的条件、解题的依据、解题的方法、问题的结论，分析四个要素中已知要素的多少可将数学练习题依难度分为：标准型题——训练型题——探索型题——问题型题。4.按开放性分类：可分为封闭题和开放题。凡是具有完备的条件和固定的答案的习题，我们称为封闭题；而答案不固定或者条件不完备的系统，我们称为开放题。5.按评分的客观性分类：可分为主观题和客观题。有唯一正确的答案，不论由谁评分都只能给出同一个分数的习题，叫做客观性习题；正确答案可用多种方式表述，评分者须凭主观经验给分的习题，叫做主观性习题。传统的证明题、计算题等，都属于主观性习题。客观性习题又可分为选择题、填充题和简短的问答题等类型，通常所说的客观性习题，主要是指选择题。对于第1、2、4、5种分类方式，大多数教师都比较熟悉，但是对于第3种按要素分析分类，想必许多教师对它感到陌生，下面，我结合实例具体阐述一下按要素分析分类的练习题类型。[4]（1）标准型如果我们把问题的条件、结论、解法、解题依据称为构成问题的四个基本要素，那么标准型练习题则是指四个基本要素都为学生所知道的问题。例如，如图1，已知：AB=CD，∠1=∠2。能够判定△ABD≌△CDB的方法是()(A)SAS(B)ASA(C)AAS(D)SSS对于刚学完三角形全等判定方法的初二学生来说，就是一道标准型练习。（2）训练型在构成问题的四个要素中，如果有一个要素是学生不知道或不明确的，就称这样的问题为训练型练习题。这种问题的解法常常有固定的模式，便于学生模仿。仍以图1为例，若条件不变，把结论改为“求证：△ABD≌△CDB”，就成了训练型练习。（3）探索型在构成问题的四个要素中，如果有两个要素是学生不知道或不明确的，就称这样的问题为探索型练习题。还是以图1为例，把问题改为“要证明△ABD≌△CDB，需要哪些条件？”由于该问题的条件不明确，也没有指明用哪种判定方法证明，需要学生自己寻找解决问题的途径，因而就成了探索型的问题。（4）问题型在构成问题的四个要素中，如果有三个要素是学生不知道或不明确的，就称这样的问题为问题型练习题。还是以图1为例，将问题改为“已知：AB=CD，∠1=∠2，你能得出哪些结论？”这一问题的解法、解法依据、结论都没有明确，需要学生运用已有的知识（如平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定等）和经验综合进行考虑，这就成了问题型的了。上述例子表明，在具体的教学条件下，将同一道题分别用标准型、训练型、探索型、问题型等不同的形式给出，可以达到不同的教学目的。在解题策略上，后一类问题通常要转化为前一类问题。另外，这几种题型还具有相对性。如解方程2x2-x-3=0，对于刚学过一元二次方程的解法的初三学生来说是标准型练习，但如果让刚学过因式分解的初二学生完成，就成了训练型练习。四、数学课堂练习的方式1．口头练习口头练习直接作用于学生的注意力，能加强学生记忆力、思维能力的培养，具有快速、省时等优点。设计口头练习要注意做好以下几个结合：与新学不久的内容相结合；与当天所学内容相结合；与常用公式、定理、法则相结合；与运算技能相结合。2．笔头练习笔头练习是指书面练习或板演练习，其难度一般比口头练习大，其作用主要是培养学生良好的学习习惯，是考查学生预习、复习、巩固、运用所学知识情况的重要途径。这类练习主要是练理解、练熟练、练准确、练技巧。3．操作练习操作练习主要指借助工具或材料进行的各种练习。它具有直观性强的特点，能直接作用于学生动手能力的培养。这类练习以观察、分析、综合、概括为主线，以加强概念教学、发现知识规律、能举一反三触